Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear definido por T(v)=A . v, onde A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right). Encontrar [T]_{\alpha}^{\alpha}, em cada item abaixo.
\alpha=\{(1,3),(2,5)\}).\

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(v)=A\,v,\quad A=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix},
e a base \alpha=\{v_1=(1,3),v_2=(2,5)\}.
Queremos encontrar a matriz de T na base \alpha, ou seja [T]_{\alpha}^{\alpha}. Para isso, basta calcular as coordenadas de T(v_1) e T(v_2) em \alpha.

Passo 2

Calculamos primeiro T(v_1)\): \[T(v_1)=A\,\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\\\ 15\end{pmatrix}.
Buscamos escalares c_1,c_2 tais que
c_1\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\\\ 15\end{pmatrix}.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} c_1+2c_2=7,\\\\ 3c_1+5c_2=15. \end{cases}
Resolvendo, obtemos c_2=6\] e \(c_1=-5. Logo, a primeira coluna de [T]_{\alpha}^{\alpha} é \bigl(-5,6\bigr)^T.

Passo 3

Em seguida, T(v_2)\): \[T(v_2)=A\,\begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12\\\ 26\end{pmatrix}.
Procuramos d_1,d_2 tais que
d_1\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} +d_2\begin{pmatrix}2\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12\\\ 26\end{pmatrix},
o que dá o sistema
\begin{cases} d_1+2d_2=12,\\\\ 3d_1+5d_2=26. \end{cases}
Daí d_2=10\] e \(d_1=-8. A segunda coluna de [T]_{\alpha}^{\alpha} é \bigl(-8,10\bigr)^T.

Passo 4

Reunindo as colunas, a matriz de T na base \alpha é
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix} -5 & -8\\\\ 6 & 10 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix} -5 & -8\\\\ 6 & 10 \end{pmatrix}.

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