Seja T: V \rightarrow W uma transformação linear tal que
[T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & b^{2} & b \end{array}\right)
onde \alpha e \beta são bases de V e W, respectivamente. Determinar os valores de b que satisfaz a condição de cada item abaixo.
a) T é injetora.
b) T é sobrejetora.
c) \operatorname{dim} \mathrm{N}(T)=2.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T\colon V\to W cujas bases \alpha em V e \beta em W levam à matriz
M = [T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & b^{2} & b \end{pmatrix}.
Como \dim V=4 e \dim W=3, vamos usar o Teorema da Dimensão \dim\ker T + \operatorname{rank}M=4 e análise de posto para estudar injetividade, sobrejetividade e \dim\ker T.

Passo 2

Fazemos eliminação na terceira linha:
L_3 \leftarrow L_3 - L_2 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & b^{2}-1 & b-1 \end{pmatrix}.
Dessa forma, há pivôs garantidos nas colunas 1 e 2, e possivelmente um pivô na coluna 3 (ou 4) dependendo de b.

Passo 3

A terceira linha fica inteiramente nula se e somente se
b^{2}-1=0 \quad\text{e}\quad b-1=0,
ou seja, apenas para b=1. Logo:
  • Se b\neq1, então (b^{2}-1,b-1)\neq(0,0) → terceira linha não nula → \operatorname{rank}M=3.
  • Se b=1, então terceira linha nula → \operatorname{rank}M=2.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão em V:
\dim\ker T \;+\;\operatorname{rank}M \;=\;4.
(a) Injetividade requer \dim\ker T=0\Rightarrow\operatorname{rank}M=4, impossível pois \operatorname{rank}M\le3.
(b) Sobrejetividade requer \operatorname{rank}M=\dim W=3, ocorre para b\neq1.
(c) \dim\ker T=2 implica \operatorname{rank}M=4-2=2, ocorre para b=1.

Resposta

(a) Não existe b.
(b) b \neq 1.
(c) b = 1.

Exercícios relacionados