Considere as bases B e B^{\prime} do espaço vetorial V. Determine a matriz mudança de base, da base B para B^{\prime},[P]_{B}^{B^{\prime}}, e também da base B^{\prime} para a base B,[P]_{B}^{B^{\prime}}, em cada caso a seguir: V=\mathbb{R}^{2}, \quad B=\{(2,2),(4,-1)\}, \quad B^{\prime}=\{(1,3),(-1,-1)\}.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e duas bases:
Base B=\{(2,2),(4,-1)\}.
Base B^{\prime}=\{(1,3),(-1,-1)\}.
O que se pede:
Determinar a matriz de mudança de base da base B para B^{\prime}, isto é [P]_{B}^{B^{\prime}}.
Determinar a matriz de mudança de base da base B^{\prime} para a base B, isto é [P]_{B^{\prime}}^{B}.
Informações relevantes dadas (escritas como colunas, para uso direto em matrizes):
Do enunciado, peguei os vetores de B: (2,2) e (4,-1).
Do enunciado, peguei os vetores de B^{\prime}: (1,3) e (-1,-1).
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):
Para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^{2} temos duas representações:v = A\,[v]_{B} = A'\,[v]_{B^{\prime}},onde A é a matriz cujas colunas são os vetores da base B escritos na base canônica (padrão) e A' é a matriz cujas colunas são os vetores da base B^{\prime} escritos na base canônica.
Da igualdade acima segueA\,[v]_{B} = A'\,[v]_{B^{\prime}} \quad\Rightarrow\quad [v]_{B^{\prime}} = (A')^{-1}A\,[v]_{B}.Portanto a matriz de mudança de coordenadas de B para B^{\prime} é[P]_{B}^{B^{\prime}} = (A')^{-1}A.
Analogamente, a mudança de B^{\prime} para B é[P]_{B^{\prime}}^{B} = A^{-1}A' = \big([P]_{B}^{B^{\prime}}\big)^{-1}.
Explicação das notações usadas:
A tem como primeira coluna o vetor (2,2) e como segunda o (4,-1).
A' tem como primeira coluna o vetor (1,3) e como segunda o (-1,-1).
[v]_{B} e [v]_{B^{\prime}} são os vetores coluna de coordenadas de v nessas bases.
Passo 3
Construção explícita de A e A' (peguei estes vetores diretamente do enunciado):
A = \begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}, \qquad A' = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Calcular (A')^{-1}. Primeiro o determinante de A':
\det(A') = 1\cdot(-1) - (-1)\cdot 3 = -1 + 3 = 2.
Para uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} a inversa é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aplicando em A':
Comentário interpretativo (útil na hora da prova): cada coluna de [P]_{B}^{B^{\prime}} é justamente as coordenadas, na base B^{\prime}, de cada vetor da base B. Por exemplo, a primeira coluna \begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\end{pmatrix} significa que (2,2) = 0\cdot(1,3) + (-2)\cdot(-1,-1), e isso pode ser verificado rapidamente substituindo.]
(Observação prática: esta matriz é a inversa de [P]_{B}^{B^{\prime}}; na prova pode ser mais rápido calcular uma e inverter em vez de refazer produtos.)]