Considere as bases B e B^{\prime} do espaço vetorial V. Determine a matriz mudança de base, da base B para B^{\prime},[P]_{B}^{B^{\prime}}, e também da base B^{\prime} para a base B,[P]_{B}^{B^{\prime}}, em cada caso a seguir:
V=\mathbb{R}^{2}, \quad B=\{(2,2),(4,-1)\}, \quad B^{\prime}=\{(1,3),(-1,-1)\}.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e duas bases:
  • Base B=\{(2,2),(4,-1)\}.
  • Base B^{\prime}=\{(1,3),(-1,-1)\}.
O que se pede:
  • Determinar a matriz de mudança de base da base B para B^{\prime}, isto é [P]_{B}^{B^{\prime}}.
  • Determinar a matriz de mudança de base da base B^{\prime} para a base B, isto é [P]_{B^{\prime}}^{B}.
Informações relevantes dadas (escritas como colunas, para uso direto em matrizes):
  • Do enunciado, peguei os vetores de B: (2,2) e (4,-1).
  • Do enunciado, peguei os vetores de B^{\prime}: (1,3) e (-1,-1).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^{2} temos duas representações: v = A\,[v]_{B} = A'\,[v]_{B^{\prime}},onde A é a matriz cujas colunas são os vetores da base B escritos na base canônica (padrão) e A' é a matriz cujas colunas são os vetores da base B^{\prime} escritos na base canônica.
  • Da igualdade acima segue A\,[v]_{B} = A'\,[v]_{B^{\prime}} \quad\Rightarrow\quad [v]_{B^{\prime}} = (A')^{-1}A\,[v]_{B}.Portanto a matriz de mudança de coordenadas de B para B^{\prime} é [P]_{B}^{B^{\prime}} = (A')^{-1}A.
  • Analogamente, a mudança de B^{\prime} para B é [P]_{B^{\prime}}^{B} = A^{-1}A' = \big([P]_{B}^{B^{\prime}}\big)^{-1}.
Explicação das notações usadas:
  • A tem como primeira coluna o vetor (2,2) e como segunda o (4,-1).
  • A' tem como primeira coluna o vetor (1,3) e como segunda o (-1,-1).
  • [v]_{B} e [v]_{B^{\prime}} são os vetores coluna de coordenadas de v nessas bases.

Passo 3

Construção explícita de A e A' (peguei estes vetores diretamente do enunciado):
A = \begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}, \qquad A' = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Calcular (A')^{-1}. Primeiro o determinante de A':
\det(A') = 1\cdot(-1) - (-1)\cdot 3 = -1 + 3 = 2.
Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} a inversa é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aplicando em A':
(A')^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular [P]_{B}^{B^{\prime}} = (A')^{-1}A passo a passo:
Primeiro o produto sem o fator 1/2:
\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)\cdot 2 + 1\cdot 2 & (-1)\cdot 4 + 1\cdot(-1)\\[6pt] (-3)\cdot 2 + 1\cdot 2 & (-3)\cdot 4 + 1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -5 \\[4pt] -4 & -13\end{pmatrix}.
Agora aplicando o fator 1/2:
[P]_{B}^{B^{\prime}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & -5 \\[4pt] -4 & -13\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -\tfrac{5}{2} \\[6pt] -2 & -\tfrac{13}{2}\end{pmatrix}.
Comentário interpretativo (útil na hora da prova): cada coluna de [P]_{B}^{B^{\prime}} é justamente as coordenadas, na base B^{\prime}, de cada vetor da base B. Por exemplo, a primeira coluna \begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\end{pmatrix} significa que (2,2) = 0\cdot(1,3) + (-2)\cdot(-1,-1), e isso pode ser verificado rapidamente substituindo.]

Passo 5

Calcular [P]_{B^{\prime}}^{B} = A^{-1}A'.
Primeiro o determinante de A:
\det(A) = 2\cdot(-1) - 4\cdot 2 = -2 - 8 = -10.
A inversa de A é
A^{-1} = \frac{1}{-10}\begin{pmatrix}-1 & -4\\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{10} & \tfrac{2}{5}\\[6pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
Agora o produto A^{-1}A':
A^{-1}A' = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{10} & \tfrac{2}{5}\\[6pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Calcule cada entrada:
  • Entrada (1,1): \tfrac{1}{10}\cdot 1 + \tfrac{2}{5}\cdot 3 = \tfrac{1}{10} + \tfrac{6}{5} = \tfrac{1}{10} + \tfrac{12}{10} = \tfrac{13}{10}.
  • Entrada (1,2): \tfrac{1}{10}\cdot(-1) + \tfrac{2}{5}\cdot(-1) = -\tfrac{1}{10} - \tfrac{2}{5} = -\tfrac{1}{10} - \tfrac{4}{10} = -\tfrac{5}{10} = -\tfrac{1}{2}.
  • Entrada (2,1): \tfrac{1}{5}\cdot 1 + (-\tfrac{1}{5})\cdot 3 = \tfrac{1}{5} - \tfrac{3}{5} = -\tfrac{2}{5}.
  • Entrada (2,2): \tfrac{1}{5}\cdot(-1) + (-\tfrac{1}{5})\cdot(-1) = -\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{5} = 0.
Portanto
[P]_{B^{\prime}}^{B} = \begin{pmatrix}\tfrac{13}{10} & -\tfrac{1}{2} \\[6pt] -\tfrac{2}{5} & 0\end{pmatrix}.
(Observação prática: esta matriz é a inversa de [P]_{B}^{B^{\prime}}; na prova pode ser mais rápido calcular uma e inverter em vez de refazer produtos.)]

Resposta

[P]_{B}^{B^{\prime}}=\begin{pmatrix}0 & -\tfrac{5}{2} \\[6pt] -2 & -\tfrac{13}{2}\end{pmatrix}
[P]_{B^{\prime}}^{B}=\begin{pmatrix}\tfrac{13}{10} & -\tfrac{1}{2} \\[6pt] -\tfrac{2}{5} & 0\end{pmatrix}

Exercícios relacionados