Seja B=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right\} uma base de um espaço vetorial V, em cada um dos itens a seguir determine a matriz de coordenadas de w \in V, com relação à base B :
V=\mathbb{P}^{2}(\mathbb{R}), p(x)=2-x+x^{2}, B=\left\{1+x, 1+x^{2}, x+x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial V=\mathbb{P}^{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau ≤ 2).
  • O vetor (polinômio) w=p(x)=2-x+x^{2}.
  • A base B=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} com u_{1}=1+x, u_{2}=1+x^{2}, u_{3}=x+x^{2}.
O que se pede: determinar a matriz de coordenadas de w em relação à base B; isto é, encontrar os escalares a,b,c tais que w=a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3} e então escrever o vetor coluna das coordenadas [w]_{B}.

Passo 2

O que significa escrever w em relação à base B?
Definição e ideia prática:
  • Uma base tem a propriedade de representar qualquer vetor do espaço como combinação linear única dos vetores da base.
  • Assim existem escalares únicos a,b,c\in\mathbb{R} tais que
w = a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3}.
  • Nosso objetivo é achar esses a,b,c. Depois a “matriz de coordenadas” é simplesmente o vetor coluna
[w]_{B}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\end{pmatrix}.]

Passo 3

Escrever a combinação linear e expandir em termos das potências 1,x,x^{2}.
Começamos com
a(1+x)+b(1+x^{2})+c(x+x^{2}).
Agora somamos termo a termo:
  • termos constantes ( 1): a+b,
  • coeficiente de x: a+c,
  • coeficiente de x^{2}: b+c.
Portanto a combinação dá o polinômio
(a+b) + (a+c)\,x + (b+c)\,x^{2}.

Passo 4

Igualar com o polinômio dado [w=2 - x + x^{2}) pela igualdade de coeficientes.
Comparando coeficiente a coeficiente obtemos o sistema linear
\begin{cases} a+b = 2,\\[4pt] a+c = -1,\\[4pt] b+c = 1. \end{cases}
Explicação rápida: dois polinômios de grau ≤ 2 são iguais se, e somente se, os coeficientes de (1,x,x^{2}] forem iguais. Por isso podemos igualar coeficientes.]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo (método da substituição).
Da segunda equação (a+c=-1) temos
c = -1 - a.
Substituindo isso na terceira equação (b+c=1):
b + (-1 - a) = 1 \quad\Rightarrow\quad b - a = 2 \quad\Rightarrow\quad b = a + 2.
Agora substituímos b=a+2 na primeira equação (a+b=2):
a + (a+2) = 2 \quad\Rightarrow\quad 2a + 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad 2a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 0.
Com a=0 obtemos
b = a+2 = 2,\qquad c = -1 - a = -1.

Passo 6

Formar a matriz (vetor coluna) de coordenadas e conferir rapidamente.
Os coeficientes encontrados são a=0, b=2, c=-1. Portanto
[w]_{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (recompor):
0(1+x)+2(1+x^{2})-1(x+x^{2}) = 2 + 0\cdot x + (2-1)x^{2} -1\cdot x = 2 - x + x^{2},
que coincide com w. Tudo certo.]

Resposta

[w]_{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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