Considere as bases B e B^{\prime} do espaço vetorial V. Determine a matriz mudança de base, da base B para B^{\prime},[P]_{B}^{B^{\prime}}, e também da base B^{\prime} para a base B,[P]_{B}^{B^{\prime}}, em cada caso a seguir:
V=\mathbb{R}^{2}, \quad B=\{(1,0),(0,1)\}, \quad B^{\prime}=\{(2,1),(-3,4)\}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Determinar a matriz de mudança de base da base B para a base B^{\prime}, denotada [P]_{B}^{B^{\prime}}.
  • Determinar a matriz de mudança de base da base B^{\prime} para a base B, denotada [P]_{B^{\prime}}^{B}.
As informações dadas são:
  • O espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2}.
  • A base B=\{(1,0),(0,1)\}.
  • A base B^{\prime}=\{(2,1),(-3,4)\}.

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender exatamente o que cada matriz representa (explicação didática curta para você saber aplicar isso na prova).
  • A matriz [P]_{B}^{B^{\prime}} transforma coordenadas de um vetor escritas na base B em coordenadas desse mesmo vetor na base B^{\prime}. Ou seja, para qualquer vetor v,
[v]_{B'} = [P]_{B}^{B'} \, [v]_{B}.
  • Uma propriedade prática e direta desta definição: as colunas de [P]_{B}^{B^{\prime}} são as coordenadas, na base B^{\prime}, dos vetores da base B. Em fórmula: a i-ésima coluna de [P]_{B}^{B'} é [\,b_i\,]_{B'} onde b_i é o i-ésimo vetor de B. Isso vem do fato de que aplicar a transformação a um vetor base [b_i]_B (que é o vetor coluna com 1 na posição i e 0 nas outras) seleciona a i-ésima coluna da matriz.

Passo 3

Como [B) é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}, vamos calcular as coordenadas de cada vetor de B em relação a B'.
Primeiro, expresso (1,0) como combinação linear dos vetores de B':
(1,0) = a\,(2,1) + b\,(-3,4).
Isso gera o sistema linear (comparando componentes):
\begin{cases} 2a - 3b = 1,\\[4pt] a + 4b = 0. \end{cases}
Resolvendo: da segunda equação, a = -4b\]. Substituindo na primeira: \[2(-4b) - 3b = 1 \quad\Rightarrow\quad -8b - 3b = 1 \quad\Rightarrow\quad -11b = 1.\] Logo \[b = -\tfrac{1}{11},\qquad a = -4b = \tfrac{4}{11}.\] Portanto, as coordenadas de \((1,0) na base B' são
\big[ (1,0) \big]_{B'} = \begin{pmatrix} \tfrac{4}{11} \\[4pt] -\tfrac{1}{11} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora expresso (0,1)\) como combinação linear dos vetores de \(B'\): \[(0,1) = a\,(2,1) + b\,(-3,4).
Comparando componentes:
\begin{cases} 2a - 3b = 0,\\[4pt] a + 4b = 1. \end{cases}
Da primeira equação, a = \tfrac{3}{2} b\]. Substituindo na segunda: \[\tfrac{3}{2}b + 4b = 1 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{11}{2} b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = \tfrac{2}{11}.\] Então \[a = \tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{2}{11} = \tfrac{3}{11}.\] Assim, as coordenadas de \((0,1) na base B' são
\big[ (0,1) \big]_{B'} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{11} \\[4pt] \tfrac{2}{11} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora montamos [P]_{B}^{B'} com essas colunas (primeira coluna = coordenadas de (1,0) em B', segunda coluna = coordenadas de (0,1) em B'):
[P]_{B}^{B'} = \begin{pmatrix} \tfrac{4}{11} & \tfrac{3}{11} \\[6pt] -\tfrac{1}{11} & \tfrac{2}{11} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Para a matriz de mudança de B' para B, [P]_{B'}^{B}, podemos usar uma observação direta: as colunas desta matriz são as coordenadas dos vetores de B' quando escritos na base B. Como B é a base canônica, essas coordenadas são simplesmente os próprios vetores em componentes usuais. Logo:
[P]_{B'}^{B} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\[4pt] 1 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 7

É bom verificar que as matrizes são inversas uma da outra (cheque rápido para confiança na prova):
Calcule [P]_{B'}^{B}\,[P]_{B}^{B'}:
\begin{pmatrix} 2 & -3 \\[4pt] 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{4}{11} & \tfrac{3}{11} \\[6pt] -\tfrac{1}{11} & \tfrac{2}{11} \end{pmatrix} = \tfrac{1}{11}\begin{pmatrix} 2\cdot 4 + (-3)(-1) & 2\cdot 3 + (-3)\cdot 2 \\[6pt] 1\cdot 4 + 4(-1) & 1\cdot 3 + 4\cdot 2 \end{pmatrix} = \tfrac{1}{11}\begin{pmatrix} 11 & 0 \\[4pt] 0 & 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto são de fato inversas, como esperado.]

Resposta

[P]_{B}^{B'} = \begin{pmatrix} \tfrac{4}{11} & \tfrac{3}{11} \\[6pt] -\tfrac{1}{11} & \tfrac{2}{11} \end{pmatrix}
[P]_{B'}^{B} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\[4pt] 1 & 4 \end{pmatrix}

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