Considere as bases B e B^{\prime} do espaço vetorial V. Determine a matriz mudança de base, da base B para B^{\prime},[P]_{B}^{B^{\prime}}, e também da base B^{\prime} para a base B,[P]_{B}^{B^{\prime}}, em cada caso a seguir: V=\mathbb{R}^{2}, \quad B=\{(1,0),(0,1)\}, \quad B^{\prime}=\{(2,1),(-3,4)\}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
Determinar a matriz de mudança de base da base B para a base B^{\prime}, denotada [P]_{B}^{B^{\prime}}.
Determinar a matriz de mudança de base da base B^{\prime} para a base B, denotada [P]_{B^{\prime}}^{B}.
As informações dadas são:
O espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2}.
A base B=\{(1,0),(0,1)\}.
A base B^{\prime}=\{(2,1),(-3,4)\}.
Passo 2
Antes de calcular, vamos entender exatamente o que cada matriz representa (explicação didática curta para você saber aplicar isso na prova).
A matriz [P]_{B}^{B^{\prime}} transforma coordenadas de um vetor escritas na base B em coordenadas desse mesmo vetor na base B^{\prime}. Ou seja, para qualquer vetor v,
[v]_{B'} = [P]_{B}^{B'} \, [v]_{B}.
Uma propriedade prática e direta desta definição: as colunas de [P]_{B}^{B^{\prime}} são as coordenadas, na base B^{\prime}, dos vetores da base B. Em fórmula: a i-ésima coluna de [P]_{B}^{B'} é [\,b_i\,]_{B'} onde b_i é o i-ésimo vetor de B. Isso vem do fato de que aplicar a transformação a um vetor base [b_i]_B (que é o vetor coluna com 1 na posição i e 0 nas outras) seleciona a i-ésima coluna da matriz.
Passo 3
Como [B) é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}, vamos calcular as coordenadas de cada vetor de B em relação a B'.
Primeiro, expresso (1,0) como combinação linear dos vetores de B':
(1,0) = a\,(2,1) + b\,(-3,4).
Isso gera o sistema linear (comparando componentes):
Resolvendo: da segunda equação, a = -4b\]. Substituindo na primeira:
\[2(-4b) - 3b = 1 \quad\Rightarrow\quad -8b - 3b = 1 \quad\Rightarrow\quad -11b = 1.\]
Logo
\[b = -\tfrac{1}{11},\qquad a = -4b = \tfrac{4}{11}.\]
Portanto, as coordenadas de \((1,0) na base B' são
Da primeira equação, a = \tfrac{3}{2} b\]. Substituindo na segunda:
\[\tfrac{3}{2}b + 4b = 1 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{11}{2} b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = \tfrac{2}{11}.\]
Então
\[a = \tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{2}{11} = \tfrac{3}{11}.\]
Assim, as coordenadas de \((0,1) na base B' são
Para a matriz de mudança de B' para B, [P]_{B'}^{B}, podemos usar uma observação direta: as colunas desta matriz são as coordenadas dos vetores de B' quando escritos na base B. Como B é a base canônica, essas coordenadas são simplesmente os próprios vetores em componentes usuais. Logo: