Considere as bases B e B^{\prime} do espaço vetorial V. Determine a matriz mudança de base, da base B para B^{\prime},[P]_{B}^{B^{\prime}}, e também da base B^{\prime} para a base B,[P]_{B}^{B^{\prime}}, em cada caso a seguir:
V=\mathbb{R}^{3}, B=\{(-3,0,-3),(-3,2,-1),(1,6,-1)\}, B^{\prime}=\{(-6,-6,0),(-2,-6,4),(-2,-3,7)\}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a matriz de mudança de base da base B para a base B^{\prime}, denotada por [P]_{B}^{B^{\prime}}.
  • Determinar a matriz de mudança de base da base B^{\prime} para a base B (ou seja, a inversa da anterior).
As bases dadas em V=\mathbb{R}^{3} são (estou listando exatamente os vetores fornecidos):
B=\{\,(-3,0,-3),\;(-3,2,-1),\;(1,6,-1)\,\},
B^{\prime}=\{\,(-6,-6,0),\;(-2,-6,4),\;(-2,-3,7)\,\}.

Passo 2

O que é a matriz de mudança de base e a fórmula que vou usar (explicação didática):
  • Se M_B é a matriz 3\times3 cujas colunas são os vetores da base B escritos nas coordenadas padrão, e M_{B'} é a matriz cujas colunas são os vetores de B', então qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3 tem
v = M_B\,[v]_B = M_{B'}\,[v]_{B'}.
  • Da igualdade M_B\,[v]_B = M_{B'}\,[v]_{B'} segue
[v]_{B'} = M_{B'}^{-1} M_B\,[v]_B.
  • Logo a matriz que transforma coordenadas em B para coordenadas em B' é
[P]_{B}^{B^{\prime}} = M_{B'}^{-1} M_B.
  • Consequentemente a matriz do caminho inverso (de B' para B) é a inversa:
[P]_{B'}^{B} = \big([P]_{B}^{B^{\prime}}\big)^{-1} = M_B^{-1} M_{B'}.
Interpretação prática que vou usar: para achar [P]_{B}^{B'} eu posso, para cada vetor b da base B, resolver o sistema linear
M_{B'}\,x = b
e o vetor solução x dá as coordenadas de b na base B'; essas coordenadas formam a coluna correspondente de [P]_{B}^{B'}. Isso evita calcular explicitamente M_{B'}^{-1} primeiro.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as matrizes cujas colunas são os vetores das bases:
M_B = \begin{pmatrix} -3 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 6\\[4pt] -3 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad M_{B'} = \begin{pmatrix} -6 & -2 & -2\\[4pt] -6 & -6 & -3\\[4pt] 0 & 4 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Vou calcular [[P]_{B}^{B’}) resolvendo, coluna a coluna, M_{B'} x = b para cada b coluna de M_B.
Primeira coluna: b^{(1)} = (-3,0,-3). Resolver
\begin{pmatrix} -6 & -2 & -2\\[4pt] -6 & -6 & -3\\[4pt] 0 & 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\[2pt] b\\[2pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\[2pt]0\\[2pt]-3\end{pmatrix}.
Escrevendo equações:
-6a-2b-2c = -3,\qquad -6a-6b-3c = 0,\qquad 4b+7c = -3.
Subtraindo a primeira da segunda obtemos -4b-c=3. Da terceira: 4b+7c=-3.
Resolver o sistema
\begin{cases} -4b-c=3,\\[2pt] 4b+7c=-3, \end{cases}
soma das duas equações: 6c=0\Rightarrow c=0\]. Então \[-4b=3\Rightarrow b=-\tfrac{3}{4}. Substituindo em qualquer equação para a: da primeira,
-6a -2\Big(-\tfrac{3}{4}\Big) = -3 \implies -6a +\tfrac{3}{2} = -3 \implies -6a = -\tfrac{9}{2}\implies a=\tfrac{3}{4}.
Logo a primeira coluna de [P]_{B}^{B'} é \big(\tfrac{3}{4},-\tfrac{3}{4},0\big)^T.
Segunda coluna: b^{(2)} = (-3,2,-1). Resolver
-6a-2b-2c = -3,\qquad -6a-6b-3c = 2,\qquad 4b+7c = -1.
Subtraindo primeira da segunda: -4b-c=5. Com 4b+7c=-1 temos o sistema
\begin{cases} -4b-c=5,\\[2pt] 4b+7c=-1. \end{cases}
Somando: 6c=4\Rightarrow c=\tfrac{2}{3}\]. Então \(-4b = 5 - c = 5 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{13}{3} logo b=-\tfrac{13}{12} = -\tfrac{17}{12} — atenção: refazendo a conta corretamente:
calcule 5 - c = 5 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{15}{3}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{13}{3}, então b = -\tfrac{13}{12}. Porém notei que anteriormente obtive -\tfrac{17}{12}; vamos checar consistência recalculando com atenção:
Refazendo com mais cuidado:
De -4b-c=5 e 4b+7c=-1. Some as duas: 6c=4\Rightarrow c=\tfrac{2}{3} (ok). Substitua em -4b-c=5:
-4b - \tfrac{2}{3} = 5 \implies -4b = 5 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{15}{3} + \tfrac{2}{3} = \tfrac{17}{3} \implies b = -\tfrac{17}{12}.
(Portanto a linha anterior com \tfrac{13}{3} foi um erro de escrita; o valor correto é \tfrac{17}{3}.)
Agora a pela primeira equação:
-6a -2\Big(-\tfrac{17}{12}\Big) -2\Big(\tfrac{2}{3}\Big) = -3.
Calcule os termos: -2(-17/12)=17/6, -2(2/3)=-4/3. Então
-6a +\tfrac{17}{6} - \tfrac{4}{3} = -3 \implies -6a +\tfrac{17 -8}{6} = -3 \implies -6a +\tfrac{9}{6} = -3,
-6a +\tfrac{3}{2} = -3 \implies -6a = -\tfrac{9}{2} \implies a=\tfrac{3}{4}.
Portanto a segunda coluna é \big(\tfrac{3}{4}, -\tfrac{17}{12}, \tfrac{2}{3}\big)^T.
Terceira coluna: b^{(3)} = (1,6,-1). Resolver
-6a-2b-2c = 1,\qquad -6a-6b-3c = 6,\qquad 4b+7c = -1.
Subtraindo primeira da segunda: -4b-c=5 (novamente). Com 4b+7c=-1 é o mesmo par linear que no caso anterior, então resulta em c=\tfrac{2}{3} e b=-\tfrac{17}{12}. Agora achar a usando a primeira equação:
-6a -2\Big(-\tfrac{17}{12}\Big) -2\Big(\tfrac{2}{3}\Big) = 1.
Como antes -2(-17/12)=17/6 e -2(2/3)=-4/3, portanto
-6a +\tfrac{17}{6} - \tfrac{4}{3} = 1 \implies -6a +\tfrac{3}{2} = 1 \implies -6a = -\tfrac{1}{2} \implies a = \tfrac{1}{12}.
Assim a terceira coluna é \big(\tfrac{1}{12}, -\tfrac{17}{12}, \tfrac{2}{3}\big)^T.]

Passo 5

Montando [P]_{B}^{B'} com as três colunas encontradas:
[P]_{B}^{B'} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{4} & \tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{12}\\[6pt] -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{17}{12} & -\tfrac{17}{12}\\[6pt] 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora obteio a matriz inversa (mudança de B' para B) resolvendo, para cada vetor coluna de M_{B'}, o sistema M_B\,y = b'. Ou seja, para cada vetor da base B' achar suas coordenadas na base B.
Primeiro vetor de B': (-6,-6,0). Resolver
\begin{pmatrix} -3 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 6\\[4pt] -3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\[2pt] v\\[2pt] w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\[2pt]-6\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Escrevendo:
-3u-3v+w=-6,\qquad 2v+6w=-6,\qquad -3u-v-w=0.
Da segunda: v+3w=-3 \Rightarrow v=-3-3w. Substituindo em terceira: -3u -(-3-3w) - w =0 \Rightarrow -3u +3 +2w=0 \Rightarrow u = 1 + \tfrac{2}{3}w. Substituir em primeira:
-3\Big(1+\tfrac{2}{3}w\Big) -3\big(-3-3w\big) + w = -6.
Calcule: -3 -2w +9 +9w + w = -6 \Rightarrow 6 +8w = -6 \Rightarrow 8w=-12 \Rightarrow w=-\tfrac{3}{2}. Então v = -3 -3(-\tfrac{3}{2}) = -3 + \tfrac{9}{2} = \tfrac{3}{2}. E u = 1 + \tfrac{2}{3}(-\tfrac{3}{2}) = 1 -1 = 0.
Logo coordenadas do primeiro vetor de B' na base B são \big(0,\tfrac{3}{2}, -\tfrac{3}{2}\big)^T.
Segundo vetor de B': (-2,-6,4). Resolver
-3u-3v+w=-2,\qquad 2v+6w=-6,\qquad -3u-v-w=4.
Da segunda: v=-3-3w. Substituindo em terceira e primeira e resolvendo (procedimento igual ao anterior) obtemos w=-\tfrac{3}{2},\; v=\tfrac{3}{2},\; u=-\tfrac{4}{3}.
Portanto a segunda coluna é \big(-\tfrac{4}{3},\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\big)^T.
Terceiro vetor de B': (-2,-3,7). Resolver
-3u-3v+w=-2,\qquad 2v+6w=-3,\qquad -3u-v-w=7.
Da segunda: v = -\tfrac{3}{2} - 3w. Substituindo e resolvendo encontra-se w=-\tfrac{3}{2},\; v=3,\; u=-\tfrac{17}{6}.
Assim a terceira coluna é \big(-\tfrac{17}{6}, 3, -\tfrac{3}{2}\big)^T.]

Passo 7

Montando a matriz de mudança de B' para B com essas colunas:
[P]_{B'}^{B} = \begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{17}{6}\\[6pt] \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & 3\\[6pt] -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

[P]_{B}^{B^{\prime}} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{4} & \tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{12}\\[6pt] -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{17}{12} & -\tfrac{17}{12}\\[6pt] 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}
[P]_{B'}^{B} = \begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{17}{6}\\[6pt] \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & 3\\[6pt] -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} \end{pmatrix}]

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