Considere as bases B e B^{\prime} do espaço vetorial V. Determine a matriz mudança de base, da base B para B^{\prime},[P]_{B}^{B^{\prime}}, e também da base B^{\prime} para a base B,[P]_{B}^{B^{\prime}}, em cada caso a seguir:
V=\mathbb{R}^{3}, B=\{(2,1,1),(2,-1,1),(1,2,1)\}, B^{\prime}=\{(3,1,-5),(1,1,-3),(-1,0,2)\}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • O espaço é V=\mathbb{R}^{3}.
  • A base B é formada pelos vetores b_{1}=(2,1,1),\quad b_{2}=(2,-1,1),\quad b_{3}=(1,2,1).
  • A base B' é formada pelos vetores b_{1}'=(3,1,-5),\quad b_{2}'=(1,1,-3),\quad b_{3}'=(-1,0,2).
  • Precisamos determinar duas matrizes de mudança de base:
    • [P]_{B}^{B'}: a matriz que transforma coordenadas relativas à base B em coordenadas relativas à base B'.
    • [P]_{B'}^{B}: a matriz que transforma coordenadas relativas à base B' em coordenadas relativas à base B.

Passo 2

A ideia e a fórmula que vamos usar (explicação didática e concreta):
  • Se v\in\mathbb{R}^{3}, denoto por [v]_{B} o vetor coluna de coordenadas de v na base B e por [v]_{B'} o vetor coluna de coordenadas na base B'.
  • As colunas da matriz cujas colunas são os vetores da base (em coordenadas canônicas) geram a relação entre coordenadas: [v]_{\text{can}}=[B]\,[v]_{B}=[B']\,[v]_{B'},onde [B] é a matriz 3\times3 cujas colunas são b_{1},b_{2},b_{3} (escritos na base canônica) e [B'] é a matriz cujas colunas são b_{1}',b_{2}',b_{3}'.
  • Assim, para transformar coordenadas de B para B' usamos [v]_{B'}=[B']^{-1}[B]\,[v]_{B}.Logo a matriz de mudança de base de B para B' é [P]_{B}^{B'}=[B']^{-1}[B].
  • Uma maneira prática de obter [P]_{B}^{B'} sem calcular explicitamente uma inversa é: para cada vetor b_{i} da base B encontrar suas coordenadas \alpha na base B' resolvendo o sistema linear [B']\,\alpha = b_{i}.Essas coordenadas \alpha serão a i-ésima coluna de [P]_{B}^{B'}.
  • Analogamente, para [P]_{B'}^{B} podemos, para cada b_{j}', resolver [B]\,\beta=b_{j}' e colocar \beta como coluna j de [P]_{B'}^{B}.
  • Vou aplicar exatamente esse procedimento (resolver três sistemas para obter as colunas), usando eliminação de Gauss e mostrando as contas passo a passo.

Passo 3

Primeiro escrevo a matriz [B'] (colunas são b_{1}',b_{2}',b_{3}'):
[B']=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] -5 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
Agora vou expressar b_{1}=(2,1,1) como combinação linear dos vetores de B'; ou seja, resolver
[B']\,x = b_{1},\quad b_{1}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Montando o sistema aumentado e fazendo eliminação (mostrando os passos):
\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] -5 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right).
Troco a primeira linha pela segunda (pivot mais simples):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 1 & -1 & 2\\[4pt] -5 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right).
Elimino abaixo: R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1},\\ R_{3}\leftarrow R_{3}+5R_{1}:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 6 \end{array}\right).
Da segunda linha temos -2x_{2}-x_{3}=-1 e da terceira 2x_{2}+2x_{3}=6. Somando a segunda (multiplicada por -1) com a terceira obtém-se x_{3}=5. Substituindo volta-se e encontra-se x_{2}=-2. Finalmente x_{1}=1-x_{2}=3.
Portanto as coordenadas de b_{1} na base B' são
[x]_{B'}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-2\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Essa será a primeira coluna de [P]_{B}^{B'}.]

Passo 4

Agora expresso b_{2}=(2,-1,1) na base B'. Resolvo [B']\,x=b_{2} com b_{2}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Sistema aumentado inicial (troco novamente para usar pivot 1):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 3 & 1 & -1 & 2\\[4pt] -5 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right).
Eliminação: R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1},\\ R_{3}\leftarrow R_{3}+5R_{1}
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 2 & 2 & -4 \end{array}\right).
Da segunda linha: -2x_{2}-x_{3}=5 ⇒ multiplicando por -1 obtemos 2x_{2}+x_{3}=-5.
Da terceira linha: 2x_{2}+2x_{3}=-4. Subtraindo as duas equações vem x_{3}=1. Então x_{2}=-3. Finalmente x_{1}=-1-x_{2}=2.
Portanto as coordenadas de b_{2} na base B' são
\begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Essa será a segunda coluna de [P]_{B}^{B'}.]

Passo 5

Agora expresso b_{3}=(1,2,1) na base B'. Resolvo [B']\,x=b_{3} com b_{3}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Sistema aumentado (com pivot na segunda linha original):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 3 & 1 & -1 & 1\\[4pt] -5 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right).
Eliminação: R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1},\\ R_{3}\leftarrow R_{3}+5R_{1}
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 11 \end{array}\right).
Da segunda linha: -2x_{2}-x_{3}=-5 2x_{2}+x_{3}=5. Da terceira: 2x_{2}+2x_{3}=11. Subtraindo vem x_{3}=6. Então 2x_{2}=5-6=-1 x_{2}=-\tfrac{1}{2}. Finalmente x_{1}=2-x_{2}=2-\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{5}{2}.
Portanto as coordenadas de b_{3} na base B' são
\begin{pmatrix}\tfrac{5}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Essa será a terceira coluna de [P]_{B}^{B'}.]

Passo 6

Reunindo as colunas que encontramos (coordenadas de b_{1},b_{2},b_{3} na base B'), obtemos a matriz de mudança de base de B para B'. Vou apresentar a matriz final apenas na seção de resposta, conforme pedido; por enquanto já temos todas as colunas:
  • coluna 1: \begin{pmatrix}3\\[2pt]-2\\[2pt]5\end{pmatrix},
  • coluna 2: \begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{pmatrix},
  • coluna 3: \begin{pmatrix}\tfrac{5}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora vamos obter [P]_{B'}^{B}, a matriz que transforma coordenadas de B' para coordenadas de B.
Duas formas equivalentes:
  • Inverter a matriz [P]_{B}^{B'} (pois a transformação contrária é a inversa),
  • Ou, como eu gosto de fazer para manter a conta explícita, expressar cada vetor b_{j}' da base B' como combinação linear dos vetores de B, ou seja, resolver [B]\,y=b_{j}' para j=1,2,3. As soluções serão as colunas de [P]_{B'}^{B}.
Vou seguir o segundo caminho (resolver três sistemas com [B]). A matriz [B] (colunas b_{1},b_{2},b_{3}) é
[B]=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolver [B]\,y=b_{1}' com b_{1}'=(3,1,-5).
Sistema aumentado:
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -5 \end{array}\right).
Troco R_{1}\leftrightarrow R_{2} para pivot 1:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -5 \end{array}\right).
Eliminação: R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\\ R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1} resulta em
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 4 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & -1 & -6 \end{array}\right).
Elimino R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{2}:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 4 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{13}{2} \end{array}\right).
Da terceira linha \tfrac{1}{2}z=-\tfrac{13}{2} z=-13.
Da segunda linha 4y-3z=1 4y-3(-13)=1 4y+39=1 y=-\tfrac{19}{2}.
Da primeira x-y+2z=1 x-(-\tfrac{19}{2})+2(-13)=1 x+\tfrac{19}{2}-26=1 x=\tfrac{35}{2}.
Assim a primeira coluna de [P]_{B'}^{B} é
\begin{pmatrix}\tfrac{35}{2}\\[4pt]-\tfrac{19}{2}\\[4pt]-13\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolver [B]\,y=b_{2}' com b_{2}'=(1,1,-3).
Sistema aumentado inicial e mesmos passos de eliminação (mostrando resultados principais):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -3 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 4 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -1 & -4 \end{array}\right).
Eliminação adicional R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{2} dá terceira linha com \tfrac{1}{2}z=-\tfrac{7}{2} z=-7.
Da segunda linha 4y-3(-7)=-1 4y+21=-1 y=-\tfrac{11}{2}.
Da primeira x-y+2z=1 x-(-\tfrac{11}{2})+2(-7)=1 x=\tfrac{19}{2}.
Portanto a segunda coluna de [P]_{B'}^{B} é
\begin{pmatrix}\tfrac{19}{2}\\[4pt]-\tfrac{11}{2}\\[4pt]-7\end{pmatrix}.]

Passo 10

Resolver [B]\,y=b_{3}' com b_{3}'=(-1,0,2).
Sistema aumentado inicial e eliminação:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 4 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right).
Eliminação R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{2} fornece \tfrac{1}{2}z=\tfrac{5}{2} z=5.
Da segunda linha 4y-3\cdot5=-1 4y-15=-1 y=\tfrac{7}{2}.
Da primeira x-y+2z=0 x-\tfrac{7}{2}+10=0 x=-\tfrac{13}{2}.
Assim a terceira coluna de [P]_{B'}^{B} é
\begin{pmatrix}-\tfrac{13}{2}\\[4pt]\tfrac{7}{2}\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 11

Verificação rápida (opcional, para confiança): a matriz obtida para [P]_{B'}^{B} é inversa da matriz encontrada para [P]_{B}^{B'}. Fiz as contas das colunas de cada uma de forma consistente; por exemplo, multiplicando as duas matrizes obtém-se a identidade 3\times3 (essa verificação foi feita a posteriori durante os cálculos).

Resposta

[P]_{B}^{B'}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & \dfrac{5}{2}\\[8pt] -2 & -3 & -\dfrac{1}{2}\\[8pt] 5 & 1 & 6 \end{pmatrix}
[P]_{B'}^{B}=\begin{pmatrix} \dfrac{35}{2} & \dfrac{19}{2} & -\dfrac{13}{2}\\[8pt] -\dfrac{19}{2} & -\dfrac{11}{2} & \dfrac{7}{2}\\[8pt] -13 & -7 & 5 \end{pmatrix}

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