Considere as bases B e B^{\prime} do espaço vetorial V. Determine a matriz mudança de base, da base B para B^{\prime},[P]_{B}^{B^{\prime}}, e também da base B^{\prime} para a base B,[P]_{B}^{B^{\prime}}, em cada caso a seguir: V=\mathbb{R}^{3}, B=\{(2,1,1),(2,-1,1),(1,2,1)\}, B^{\prime}=\{(3,1,-5),(1,1,-3),(-1,0,2)\}.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
O espaço é V=\mathbb{R}^{3}.
A base B é formada pelos vetoresb_{1}=(2,1,1),\quad b_{2}=(2,-1,1),\quad b_{3}=(1,2,1).
A base B' é formada pelos vetoresb_{1}'=(3,1,-5),\quad b_{2}'=(1,1,-3),\quad b_{3}'=(-1,0,2).
Precisamos determinar duas matrizes de mudança de base:
[P]_{B}^{B'}: a matriz que transforma coordenadas relativas à base B em coordenadas relativas à base B'.
[P]_{B'}^{B}: a matriz que transforma coordenadas relativas à base B' em coordenadas relativas à base B.
Passo 2
A ideia e a fórmula que vamos usar (explicação didática e concreta):
Se v\in\mathbb{R}^{3}, denoto por [v]_{B} o vetor coluna de coordenadas de v na base B e por [v]_{B'} o vetor coluna de coordenadas na base B'.
As colunas da matriz cujas colunas são os vetores da base (em coordenadas canônicas) geram a relação entre coordenadas:[v]_{\text{can}}=[B]\,[v]_{B}=[B']\,[v]_{B'},onde [B] é a matriz 3\times3 cujas colunas são b_{1},b_{2},b_{3} (escritos na base canônica) e [B'] é a matriz cujas colunas são b_{1}',b_{2}',b_{3}'.
Assim, para transformar coordenadas de B para B' usamos[v]_{B'}=[B']^{-1}[B]\,[v]_{B}.Logo a matriz de mudança de base de B para B' é[P]_{B}^{B'}=[B']^{-1}[B].
Uma maneira prática de obter [P]_{B}^{B'} sem calcular explicitamente uma inversa é: para cada vetor b_{i} da base B encontrar suas coordenadas \alpha na base B' resolvendo o sistema linear[B']\,\alpha = b_{i}.Essas coordenadas \alpha serão a i-ésima coluna de [P]_{B}^{B'}.
Analogamente, para [P]_{B'}^{B} podemos, para cada b_{j}', resolver [B]\,\beta=b_{j}' e colocar \beta como coluna j de [P]_{B'}^{B}.
Vou aplicar exatamente esse procedimento (resolver três sistemas para obter as colunas), usando eliminação de Gauss e mostrando as contas passo a passo.
Passo 3
Primeiro escrevo a matriz [B'] (colunas são b_{1}',b_{2}',b_{3}'):
Da segunda linha temos -2x_{2}-x_{3}=-1 e da terceira 2x_{2}+2x_{3}=6. Somando a segunda (multiplicada por -1) com a terceira obtém-se x_{3}=5. Substituindo volta-se e encontra-se x_{2}=-2. Finalmente x_{1}=1-x_{2}=3.
Da segunda linha: -2x_{2}-x_{3}=5 ⇒ multiplicando por -1 obtemos 2x_{2}+x_{3}=-5.
Da terceira linha: 2x_{2}+2x_{3}=-4. Subtraindo as duas equações vem x_{3}=1. Então x_{2}=-3. Finalmente x_{1}=-1-x_{2}=2.
Portanto as coordenadas de b_{2} na base B' são
\begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Essa será a segunda coluna de [P]_{B}^{B'}.]
Passo 5
Agora expresso b_{3}=(1,2,1) na base B'. Resolvo [B']\,x=b_{3} com b_{3}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Sistema aumentado (com pivot na segunda linha original):
Da segunda linha: -2x_{2}-x_{3}=-5 ⇒ 2x_{2}+x_{3}=5. Da terceira: 2x_{2}+2x_{3}=11. Subtraindo vem x_{3}=6. Então 2x_{2}=5-6=-1 ⇒ x_{2}=-\tfrac{1}{2}. Finalmente x_{1}=2-x_{2}=2-\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{5}{2}.
Reunindo as colunas que encontramos (coordenadas de b_{1},b_{2},b_{3} na base B'), obtemos a matriz de mudança de base de B para B'. Vou apresentar a matriz final apenas na seção de resposta, conforme pedido; por enquanto já temos todas as colunas:
Agora vamos obter [P]_{B'}^{B}, a matriz que transforma coordenadas de B' para coordenadas de B.
Duas formas equivalentes:
Inverter a matriz [P]_{B}^{B'} (pois a transformação contrária é a inversa),
Ou, como eu gosto de fazer para manter a conta explícita, expressar cada vetor b_{j}' da base B' como combinação linear dos vetores de B, ou seja, resolver [B]\,y=b_{j}' para j=1,2,3. As soluções serão as colunas de [P]_{B'}^{B}.
Vou seguir o segundo caminho (resolver três sistemas com [B]). A matriz [B] (colunas b_{1},b_{2},b_{3}) é
Da terceira linha \tfrac{1}{2}z=-\tfrac{13}{2} ⇒ z=-13.
Da segunda linha 4y-3z=1 ⇒ 4y-3(-13)=1 ⇒ 4y+39=1 ⇒ y=-\tfrac{19}{2}.
Da primeira x-y+2z=1 ⇒ x-(-\tfrac{19}{2})+2(-13)=1 ⇒ x+\tfrac{19}{2}-26=1 ⇒ x=\tfrac{35}{2}.
Eliminação adicional R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{2} dá terceira linha com \tfrac{1}{2}z=-\tfrac{7}{2} ⇒ z=-7.
Da segunda linha 4y-3(-7)=-1 ⇒ 4y+21=-1 ⇒ y=-\tfrac{11}{2}.
Da primeira x-y+2z=1 ⇒ x-(-\tfrac{11}{2})+2(-7)=1 ⇒ x=\tfrac{19}{2}.
Eliminação R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{2} fornece \tfrac{1}{2}z=\tfrac{5}{2} ⇒ z=5.
Da segunda linha 4y-3\cdot5=-1 ⇒ 4y-15=-1 ⇒ y=\tfrac{7}{2}.
Da primeira x-y+2z=0 ⇒ x-\tfrac{7}{2}+10=0 ⇒ x=-\tfrac{13}{2}.
Verificação rápida (opcional, para confiança): a matriz obtida para [P]_{B'}^{B} é inversa da matriz encontrada para [P]_{B}^{B'}. Fiz as contas das colunas de cada uma de forma consistente; por exemplo, multiplicando as duas matrizes obtém-se a identidade 3\times3 (essa verificação foi feita a posteriori durante os cálculos).