Considere as bases
\begin{aligned} & B_{1}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \\\ & B_{2}=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}, \end{aligned}
de \mathbb{R}^{3}. Encontre a matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1} e de B_{1} para B_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^{3} e pede duas matrizes de mudança de base:
  • Base B_{1}: \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
  • Base B_{2}: \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}.
As perguntas são:
  1. Encontrar a matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1}.
  2. Encontrar a matriz de mudança de base de B_{1} para B_{2}.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores de B_{1} são os vetores padrões \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3.
  • Os vetores de B_{2} são \mathbf{v}_1=(1,1,1), \mathbf{v}_2=(1,1,0), \mathbf{v}_3=(1,0,0) (peguei estes vetores do enunciado).

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): o que significa “matriz de mudança de base”.
  • Se temos uma base B e outra base C, a matriz de mudança de base de C para B é a matriz que transforma coordenadas de um vetor expressas na base C nas coordenadas desse mesmo vetor expressas na base B.
  • Concretamente, para mudar de B_{2} para B_{1}: dado um vetor x com coordenadas [x]_{B_{2}} em B_{2}, a matriz P_{B_{1}\leftarrow B_{2}} deve satisfazer
[x]_{B_{1}} = P_{B_{1}\leftarrow B_{2}} \,[x]_{B_{2}}.
  • Como B_{1} é a base canônica (padrão), as coordenadas de cada vetor de B_{2} relativas a B_{1} são exatamente as suas componentes cartesianas. Logo, a matriz P_{B_{1}\leftarrow B_{2}} tem como colunas os vetores de B_{2} escritos em coordenadas da base B_{1}.

Passo 3

Construção da matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1}.
  • Peguei do enunciado \mathbf{v}_1=(1,1,1), \mathbf{v}_2=(1,1,0), \mathbf{v}_3=(1,0,0).
  • Coloco essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de B_{2}. Assim
P_{B_{1}\leftarrow B_{2}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  • Interpretação: se [x]_{B_{2}}=(a,b,c)^{T}, então [x]_{B_{1}}=a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3, que é exatamente essa multiplicação pelo P_{B_{1}\leftarrow B_{2}}.]

Passo 4

Relação entre as duas matrizes pedidas.
  • A matriz de mudança de base de B_{1} para B_{2}, que chamo P_{B_{2}\leftarrow B_{1}}, faz o inverso:
[x]_{B_{2}} = P_{B_{2}\leftarrow B_{1}} \,[x]_{B_{1}}.
  • Logo P_{B_{2}\leftarrow B_{1}} é a inversa de P_{B_{1}\leftarrow B_{2}}:
P_{B_{2}\leftarrow B_{1}} = \bigl(P_{B_{1}\leftarrow B_{2}}\bigr)^{-1}.
  • Portanto, basta calcular a inversa da matriz que já obtivemos no Passo 3.

Passo 5

Cálculo da inversa de
M := P_{B_{1}\leftarrow B_{2}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Método: resolver [M x = \mathbf{e}_i) para i=1,2,3; as soluções serão as colunas de M^{-1}.
  1. Resolver M x = \mathbf{e}_1 = (1,0,0)^{T}.
    Escrevendo as equações:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] x_{1}+x_{2}=0,\\[4pt] x_{1}=0. \end{cases}
Da terceira equação x_{1}=0\]. Da segunda \[x_{2}=0. Da primeira x_{3}=1.
Logo a primeira coluna de M^{-1} é (0,0,1)^{T}.
  1. Resolver M x = \mathbf{e}_2 = (0,1,0)^{T}.
    Equações:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+x_{2}=1,\\[4pt] x_{1}=0. \end{cases}
Da terceira x_{1}=0\]. Da segunda \[x_{2}=1. Da primeira x_{3}=-1.
Então a segunda coluna de M^{-1} é (0,1,-1)^{T}.
  1. Resolver M x = \mathbf{e}_3 = (0,0,1)^{T}.
    Equações:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+x_{2}=0,\\[4pt] x_{1}=1. \end{cases}
Da terceira x_{1}=1\]. Da segunda \(x_{2}=-1. Da primeira x_{3}=0.
Então a terceira coluna de M^{-1} é (1,-1,0)^{T}.]

Passo 6

Montando a inversa com as colunas encontradas:
M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Conclusão: P_{B_{2}\leftarrow B_{1}} = M^{-1} é essa matriz.]

Resposta

Matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1}:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Matriz de mudança de base de B_{1} para B_{2}:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}

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