de \mathbb{R}^{3}. Encontre a matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1} e de B_{1} para B_{2}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^{3} e pede duas matrizes de mudança de base:
Base B_{1}: \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Base B_{2}: \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}.
As perguntas são:
Encontrar a matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1}.
Encontrar a matriz de mudança de base de B_{1} para B_{2}.
Lista das informações relevantes fornecidas:
Os vetores de B_{1} são os vetores padrões \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3.
Os vetores de B_{2} são \mathbf{v}_1=(1,1,1), \mathbf{v}_2=(1,1,0), \mathbf{v}_3=(1,0,0) (peguei estes vetores do enunciado).
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): o que significa “matriz de mudança de base”.
Se temos uma base B e outra base C, a matriz de mudança de base de C para B é a matriz que transforma coordenadas de um vetor expressas na base C nas coordenadas desse mesmo vetor expressas na base B.
Concretamente, para mudar de B_{2} para B_{1}: dado um vetor x com coordenadas [x]_{B_{2}} em B_{2}, a matriz P_{B_{1}\leftarrow B_{2}} deve satisfazer
Como B_{1} é a base canônica (padrão), as coordenadas de cada vetor de B_{2} relativas a B_{1} são exatamente as suas componentes cartesianas. Logo, a matriz P_{B_{1}\leftarrow B_{2}} tem como colunas os vetores de B_{2} escritos em coordenadas da base B_{1}.
Passo 3
Construção da matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1}.
Peguei do enunciado \mathbf{v}_1=(1,1,1), \mathbf{v}_2=(1,1,0), \mathbf{v}_3=(1,0,0).
Coloco essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de B_{2}. Assim
Interpretação: se [x]_{B_{2}}=(a,b,c)^{T}, então [x]_{B_{1}}=a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3, que é exatamente essa multiplicação pelo P_{B_{1}\leftarrow B_{2}}.]
Passo 4
Relação entre as duas matrizes pedidas.
A matriz de mudança de base de B_{1} para B_{2}, que chamo P_{B_{2}\leftarrow B_{1}}, faz o inverso: