No espaço vetorial M_{4}(\mathbb{R}) das matrizes 4 \times 4, sejam:
\begin{aligned} & U=\left\{A \in M_{4}(\mathbb{R}): A \text { é triangular superior }\right\}, \\\ & W=\left\{A \in M_{4}(\mathbb{R}): A \text { é triangular inferior }\right\} . \end{aligned}éé
Determine a dimensão de U, W, U \cap W e U+W. A soma U+W é direta?

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as dimensões dos subespaços U, W, U\cap W e U+W dentro de M_{4}(\mathbb{R}), e que eu diga se a soma U+W é direta.
Informações dadas:
  • U é o conjunto das matrizes 4\times4 triangulares superiores (isto é, entradas abaixo da diagonal principal iguais a zero).
  • W é o conjunto das matrizes 4\times4 triangulares inferiores (isto é, entradas acima da diagonal principal iguais a zero).
  • O espaço ambiente é M_{4}(\mathbb{R}), cujas matrizes têm 4\times4=16 entradas.

Passo 2

Vou explicar o conceito prático que vou usar: uma maneira clara de contar dimensões em espaços de matrizes é usar a família canônica de matrizes E_{ij}, onde (E_{ij})_{kl} = 1 se (k,l)=(i,j) e 0 caso contrário. Essas E_{ij} formam uma base de M_{4}(\mathbb{R}) (são 16 matrizes linearmente independentes). Para subespaços como matrizes triangulares, basta contar quantas posições (i,j) são permitidas (ou seja, quantas E_{ij} pertencem ao subespaço). Cada posição permitida corresponde a uma coordenada livre e, portanto, contribui com 1 para a dimensão.

Passo 3

Contagem para U (triangulares superiores).
Condição para E_{ij}\in U é i\le j (linha menor ou igual à coluna). Então as posições permitidas são:
  • na diagonal: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) — são 4 posições;
  • acima da diagonal: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) — são 6 posições.
    Total de posições com i\le j é a soma 4+6=10. Outra forma geral: para matrizes n\times n, o número é \dfrac{n(n+1)}{2}; para n=4 \dfrac{4\cdot5}{2}=10.
    Portanto \dim U=10.

Passo 4

Contagem para W (triangulares inferiores).
Condição para E_{ij}\in W é i\ge j. Por simetria com o caso anterior, o número de posições com i\ge j também é \dfrac{4\cdot5}{2}=10. Logo \dim W=10.

Passo 5

Determinar U\cap W.
Uma matriz que é ao mesmo tempo triangular superior e triangular inferior só pode ter entradas fora da diagonal nulas; portanto só podem restar as entradas da diagonal principal. Assim
U\cap W=\{\text{matrizes diagonais }4\times4\}.
O número de graus de liberdade é o número de entradas na diagonal, que é 4. Uma base explícita de U\cap W é \{E_{11},E_{22},E_{33},E_{44}\}. Logo \dim(U\cap W)=4.

Passo 6

Calcular \dim(U+W).
Usa-se a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Substituindo os valores encontrados:
\dim(U+W)=10+10-4=16.
Como \dim M_{4}(\mathbb{R})=16, isso mostra que U+W tem dimensão 16 e portanto é todo M_{4}(\mathbb{R}). Alternativamente, nota-se que cada base padrão E_{ij} pertence a U se i\le j e pertence a W se i\ge j, então todos os 16 E_{ij} pertencem a U+W, confirmando que U+W=M_{4}(\mathbb{R}).

Passo 7

A soma é direta?
Uma soma U+W é direta exatamente quando U\cap W=\{0\}. Aqui vimos que U\cap W é o espaço das matrizes diagonais de dimensão 4, que contém matrizes não-nulas (por exemplo a identidade \mathrm{I}_4). Logo U\cap W\neq\{0\} e a soma não é direta.

Resposta

\dim U = 10
\dim W = 10
\dim(U\cap W) = 4
\dim(U+W) = 16
A soma U+W não é direta.

Exercícios relacionados