No espaço vetorial
das matrizes
, sejam:
Determine a dimensão de
e
. A soma
é direta?
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as dimensões dos subespaços
,
,
e
dentro de
, e que eu diga se a soma
é direta.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é o conjunto das matrizes triangulares superiores (isto é, entradas abaixo da diagonal principal iguais a zero). -
é o conjunto das matrizes triangulares inferiores (isto é, entradas acima da diagonal principal iguais a zero). - O espaço ambiente é
, cujas matrizes têm entradas.
Passo 2
Vou explicar o conceito prático que vou usar: uma maneira clara de contar dimensões em espaços de matrizes é usar a família canônica de matrizes
, onde
se
e
caso contrário. Essas
formam uma base de
(são
matrizes linearmente independentes). Para subespaços como matrizes triangulares, basta contar quantas posições
são permitidas (ou seja, quantas
pertencem ao subespaço). Cada posição permitida corresponde a uma coordenada livre e, portanto, contribui com
para a dimensão.
Passo 3
Contagem para
(triangulares superiores).
Condição para é
(linha menor ou igual à coluna). Então as posições permitidas são:
Condição para
- na diagonal:
— são posições; - acima da diagonal:
— são posições.
Total de posições comé a soma . Outra forma geral: para matrizes , o número é ; para dá .
Portanto.
Passo 4
Contagem para
(triangulares inferiores).
Condição para é
. Por simetria com o caso anterior, o número de posições com
também é
. Logo
.
Condição para
Passo 5
Determinar
.
Uma matriz que é ao mesmo tempo triangular superior e triangular inferior só pode ter entradas fora da diagonal nulas; portanto só podem restar as entradas da diagonal principal. Assim
Uma matriz que é ao mesmo tempo triangular superior e triangular inferior só pode ter entradas fora da diagonal nulas; portanto só podem restar as entradas da diagonal principal. Assim
O número de graus de liberdade é o número de entradas na diagonal, que é
. Uma base explícita de
é
. Logo
.
Passo 6
Calcular
.
Usa-se a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
Usa-se a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
Substituindo os valores encontrados:
Como
, isso mostra que
tem dimensão
e portanto é todo
. Alternativamente, nota-se que cada base padrão
pertence a
se
e pertence a
se
, então todos os
pertencem a
, confirmando que
.
Passo 7
A soma é direta?
Uma soma é direta exatamente quando
. Aqui vimos que
é o espaço das matrizes diagonais de dimensão
, que contém matrizes não-nulas (por exemplo a identidade
). Logo
e a soma não é direta.
Uma soma
Resposta
A soma