No espaço vetorial \mathbb{R}^{4}, considere os subespaços:
\begin{gathered} U=\operatorname{span}\{(1,2,-1,3),(2,4,1,-2),(3,6,3,-7)\} \\\ W=\operatorname{span}\{(1,2,-4,11),(2,4,-5,14)\} \end{gathered}
Encontre a dimensão e uma base para a interseção U \cap W.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^4:
\begin{gathered} U=\operatorname{span}\{u_1,u_2,u_3\},\quad u_1=(1,2,-1,3),\;u_2=(2,4,1,-2),\;u_3=(3,6,3,-7),\\[4pt] W=\operatorname{span}\{w_1,w_2\},\quad w_1=(1,2,-4,11),\;w_2=(2,4,-5,14). \end{gathered}
O que se pede:
  • A dimensão de U\cap W.
  • Uma base para U\cap W.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as seis coordenadas dos vetores geradores de U e W. A interseção é o conjunto de vetores que podem ser escritos tanto como combinação linear dos u_i quanto como combinação linear dos w_j.]

Passo 2

Determinar a dimensão e uma base de U passando por redução de colunas (ou equivalentes). Colocando u_1,u_2,u_3 como colunas na matriz 4\times3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[2pt] 2 & 4 & 6\\[2pt] -1 & 1 & 3\\[2pt] 3 & -2 & -7 \end{pmatrix}.
Faço operações elementares nas linhas para achar a dependência entre as colunas:
  1. R_2\leftarrow R_2-2R_1: segunda linha vira (0,0,0).
  2. R_3\leftarrow R_3+R_1: terceira linha fica (0,3,6).
  3. R_4\leftarrow R_4-3R_1: quarta linha fica (0,-8,-16).
Agora a matriz está (mostrando só as linhas não todas nulas):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[2pt] 0 & 3 & 6\\[2pt] 0 & -8 & -16 \end{pmatrix}.
Dividindo a segunda linha por 3 e eliminando acima/abaixo:
  • R_2\leftarrow \tfrac{1}{3}R_2=(0,1,2).
  • R_1\leftarrow R_1-2R_2=(1,0,-1).
  • R_3\leftarrow R_3+8R_2=(0,0,0).
Obtemos a forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[2pt] 0 & 1 & 2\\[2pt] 0 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dessa forma vemos que as colunas 1 e 2 são pivôs e a coluna 3 é combinação linear das anteriores. Conclusões:
  • \dim(U)=2.
  • Há a relação \,u_3=-u_1+2u_2, logo \{u_1,u_2\} é uma base de U.]

Passo 3

Verificar a dimensão de W. Colocando w_1,w_2 como colunas na matriz 4\times2:
B=\begin{pmatrix} 1 & 2\\[2pt] 2 & 4\\[2pt] -4 & -5\\[2pt] 11 & 14 \end{pmatrix}.
Observa-se já pelo primeiro e terceiro componentes que não existe escalar k tal que w_2=k w_1 (porque, por exemplo, na primeira coordenada seria k=2 mas na terceira isso daria -8\neq -5). Assim as colunas são linearmente independentes e:
  • \dim(W)=2.
  • \{w_1,w_2\} é uma base de W.]

Passo 4

Para achar U\cap W\) escrevo um vetor genérico de \(U\) e um genérico de \(W\) e igualo: seja \[v=a u_1 + b u_2\in U
e
v=p w_1 + q w_2\in W,
com a,b,p,q\in\mathbb{R}. Escrevendo coordenadas:
a u_1 + b u_2 = \bigl(a+2b,\;2a+4b,\;-a+b,\;3a-2b\bigr),
p w_1 + q w_2 = \bigl(p+2q,\;2p+4q,\;-4p-5q,\;11p+14q\bigr).
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} a+2b = p+2q,\\[4pt] 2a+4b = 2p+4q,\\[4pt] -a+b = -4p-5q,\\[4pt] 3a-2b = 11p+14q. \end{cases}
A segunda equação é o dobro da primeira, então é redundante. Uso a primeira para eliminar p\]: da primeira \[p = a+2b-2q.\] Substituo esse \(p na terceira equação:
-a+b = -4(a+2b-2q)-5q = -4a-8b+8q-5q = -4a-8b+3q.
Levo tudo para um lado:
-a+b +4a+8b -3q = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a+9b-3q=0.
Dividindo por 3:
a+3b-q=0 \quad\Rightarrow\quad q=a+3b.
Com q encontrado, calculo p pela relação anterior:
p = a+2b-2q = a+2b-2(a+3b) = -a-4b.
Por fim verifico a quarta equação (consistência):
11p+14q = 11(-a-4b)+14(a+3b) = -11a-44b+14a+42b = 3a-2b,
que é exatamente o lado esquerdo 3a-2b. Logo a quarta equação é automaticamente satisfeita; não surge nova restrição.]

Passo 5

Interpretação dos resultados: as soluções do sistema são parametrizadas por a,b livres, com
q=a+3b,\qquad p=-a-4b.
Isto significa que para quaisquer a,b\in\mathbb{R} existe (p,q) tal que a u_1+b u_2 = p w_1 + q w_2. Em particular todos os vetores gerados por \{u_1,u_2\} pertencem a W; ou seja U\subseteq W. Como \dim(U)=\dim(W)=2, segue que U=W. Portanto
U\cap W = U = W
e, consequentemente,
\dim(U\cap W)=2.
Uma base explícita para U\cap W pode ser escolhida como \{u_1,u_2\} (ou também \{w_1,w_2\}). Para checar concretamente podemos mostrar as expressões encontradas:
u_1 = -1\cdot w_1 + 1\cdot w_2, \qquad u_2 = -4\cdot w_1 + 3\cdot w_2,
confirmando que u_1,u_2\in W.

Resposta

\dim(U\cap W)=2
Uma base para U\cap W é \{(1,2,-1,3),\,(2,4,1,-2)\}

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