Informações relevantes dadas pelo enunciado: as seis coordenadas dos vetores geradores de U e W. A interseção é o conjunto de vetores que podem ser escritos tanto como combinação linear dos u_i quanto como combinação linear dos w_j.]
Passo 2
Determinar a dimensão e uma base de U passando por redução de colunas (ou equivalentes). Colocando u_1,u_2,u_3 como colunas na matriz 4\times3:
Observa-se já pelo primeiro e terceiro componentes que não existe escalar k tal que w_2=k w_1 (porque, por exemplo, na primeira coordenada seria k=2 mas na terceira isso daria -8\neq -5). Assim as colunas são linearmente independentes e:
\dim(W)=2.
\{w_1,w_2\} é uma base de W.]
Passo 4
Para achar U\cap W\) escrevo um vetor genérico de \(U\) e um genérico de \(W\) e igualo: seja
\[v=a u_1 + b u_2\in U
e
v=p w_1 + q w_2\in W,
com a,b,p,q\in\mathbb{R}. Escrevendo coordenadas:
a u_1 + b u_2 = \bigl(a+2b,\;2a+4b,\;-a+b,\;3a-2b\bigr),
p w_1 + q w_2 = \bigl(p+2q,\;2p+4q,\;-4p-5q,\;11p+14q\bigr).
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema
A segunda equação é o dobro da primeira, então é redundante. Uso a primeira para eliminar p\]: da primeira
\[p = a+2b-2q.\]
Substituo esse \(p na terceira equação:
que é exatamente o lado esquerdo 3a-2b. Logo a quarta equação é automaticamente satisfeita; não surge nova restrição.]
Passo 5
Interpretação dos resultados: as soluções do sistema são parametrizadas por a,b livres, com
q=a+3b,\qquad p=-a-4b.
Isto significa que para quaisquer a,b\in\mathbb{R} existe (p,q) tal que a u_1+b u_2 = p w_1 + q w_2. Em particular todos os vetores gerados por \{u_1,u_2\} pertencem a W; ou seja U\subseteq W. Como \dim(U)=\dim(W)=2, segue que U=W. Portanto
U\cap W = U = W
e, consequentemente,
\dim(U\cap W)=2.
Uma base explícita para U\cap W pode ser escolhida como \{u_1,u_2\} (ou também \{w_1,w_2\}). Para checar concretamente podemos mostrar as expressões encontradas: