Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M_{2}(\mathbb{R}) :
(b) \left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) / a+d=b+c\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço de M_{2}(\mathbb{R}) formado pelas matrizes
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
que satisfazem a condição linear a + d = b + c. Vamos usar o fato de que M_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4 e impor essa única restrição para obter a parametrização dos elementos do subespaço.

Passo 2

A condição a + d = b + c é uma equação linear sobre as componentes a,b,c,d. Podemos escolher três variáveis livres e expressar a quarta em função delas. Por exemplo, tomamos a,b,c como parâmetros livres e escrevemos
d = b + c - a.

Passo 3

Substituindo d = b + c - a na matriz geral, obtemos
\begin{pmatrix} a & b \\[6pt] c & b + c - a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix} + c \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Isso mostra que todo elemento do subespaço é combinação linear dessas três matrizes.]

Resposta

A dimensão do subespaço é 3, e uma base conveniente é dada por
B = \left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix} \right\}.

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