Considere o espaço vetorial real \mathbb{R}^{2}. A matriz de mudança da base ordenada \gamma=\{(1,1),(-2,2)\} para a base ordenada \alpha=\left\{v_{1}, v_{2}\right\} é dada por
\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\\\ 4 & -2 \end{array}\right)
Determine a base ordenada \alpha. Determine o vetor u \in \mathbb{R}^{2} tal que [u]_{\alpha}=\binom{1}{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá \gamma=\{(1,1),\,(-2,2)\} e afirma que a matriz de mudança de base de \gamma para \alpha=\{v_1,v_2\} é
\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 4 & -2 \end{pmatrix}.
Isto significa que, se [w]_{\gamma} é o vetor de coordenadas de w na base \gamma, então
[w]_{\alpha} \;=\; P_{\alpha\leftarrow\gamma}\,[w]_{\gamma}.
Vamos usar as colunas de P_{\alpha\leftarrow\gamma} para expressar os vetores de \gamma na base \alpha, achar v_1,v_2 e, em seguida, determinar u tal que [u]_{\alpha}=\binom{1}{2}.

Passo 2

As colunas de P_{\alpha\leftarrow\gamma} são justamente as coordenadas dos vetores de \gamma na base \alpha. Logo:
\begin{aligned} \text{1ª coluna } \binom{1}{4}\; &\Rightarrow\; (1,1) = 1\cdot v_1 + 4\cdot v_2,\\\ \text{2ª coluna } \binom{0}{-2}\; &\Rightarrow\; (-2,2) = 0\cdot v_1 + (-2)\cdot v_2. \end{aligned}ªª

Passo 3

Da segunda equação,
(-2,2) = -2\,v_2
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v_2 = \frac{1}{-2}\,(-2,2) = (1,-1).

Passo 4

Substituindo v_2=(1,-1) na primeira equação,
(1,1) = v_1 + 4\,(1,-1) = v_1 + (4,-4),
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v_1 = (1,1) - (4,-4) = (-3,5).

Passo 5

Agora temos
\alpha = \{v_1,v_2\} = \{(-3,5),\,(1,-1)\}.
Para achar u com [u]_{\alpha}=\binom{1}{2},
u = 1\cdot v_1 + 2\cdot v_2 = (-3,5) + 2\,(1,-1) = (-3+2,\,5-2) = (-1,3).

Resposta

\alpha = \{(-3,5),\,(1,-1)\}
u = (-1,3)

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