Considere as bases \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \gamma=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, relacionadas da seguinte forma:
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) Sabendo que [u]_{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right), determine o vetor u com relação à base \gamma.
Passo 1
O enunciado dá duas bases \beta=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} e \gamma=\{w_{1},w_{2},w_{3}\} de \mathbb{R}^{3} e a relação entre os vetores das bases:
As perguntas são:
(a) Determinar as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) Sabendo que [u]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}, determinar as coordenadas de u na base \gamma (ou seja, [u]_{\gamma}).]
Passo 2
O que é cada matriz pedida (explicação didática e fórmula):
[I]_{\gamma}^{\beta} é a matriz da aplicação identidade escrita de forma que ela converta coordenadas em \gamma para coordenadas em \beta. Em palavras: se [v]_{\gamma} são as coordenadas de um vetor v na base \gamma, então
[v]_{\beta}=[I]_{\gamma}^{\beta}\,[v]_{\gamma}.
A maneira prática de montar [I]_{\gamma}^{\beta} é: cada coluna j é o vetor w_{j} expresso em coordenadas da base \beta. Ou seja, escrevo w_{j} como combinação linear de u_{1},u_{2},u_{3} e coloco os coeficientes na coluna j.
A matriz [I]_{\beta}^{\gamma} faz a conversão oposta (de coordenadas em \beta para coordenadas em \gamma). Portanto ela é a inversa de [I]_{\gamma}^{\beta}: