Considere as bases \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \gamma=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, relacionadas da seguinte forma:
\left\{\begin{array}{ccccccc} w_{1} & = & u_{1} & - & u_{2} & - & u_{3} \\\ w_{2} & = & & & 2 u_{2} & + & 3 u_{3} \\\ w_{3} & = & 3 u_{1} & & & + & 3 u_{3} \end{array} .\right.
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) Sabendo que [u]_{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right), determine o vetor u com relação à base \gamma.

Passo 1

O enunciado dá duas bases \beta=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} e \gamma=\{w_{1},w_{2},w_{3}\} de \mathbb{R}^{3} e a relação entre os vetores das bases:
\left\{\begin{array}{rcl} w_{1} & = & u_{1}-u_{2}-u_{3} \\\ w_{2} & = & 2u_{2}+3u_{3} \\\ w_{3} & = & 3u_{1}+3u_{3} \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Determinar as matrizes de mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) Sabendo que [u]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}, determinar as coordenadas de u na base \gamma (ou seja, [u]_{\gamma}).]

Passo 2

O que é cada matriz pedida (explicação didática e fórmula):
  • [I]_{\gamma}^{\beta} é a matriz da aplicação identidade escrita de forma que ela converta coordenadas em \gamma para coordenadas em \beta. Em palavras: se [v]_{\gamma} são as coordenadas de um vetor v na base \gamma, então
[v]_{\beta}=[I]_{\gamma}^{\beta}\,[v]_{\gamma}.
  • A maneira prática de montar [I]_{\gamma}^{\beta} é: cada coluna j é o vetor w_{j} expresso em coordenadas da base \beta. Ou seja, escrevo w_{j} como combinação linear de u_{1},u_{2},u_{3} e coloco os coeficientes na coluna j.
  • A matriz [I]_{\beta}^{\gamma} faz a conversão oposta (de coordenadas em \beta para coordenadas em \gamma). Portanto ela é a inversa de [I]_{\gamma}^{\beta}:
[I]_{\beta}^{\gamma}=\big([I]_{\gamma}^{\beta}\big)^{-1}.

Passo 3

Construção explícita de [I]_{\gamma}^{\beta} usando as expressões dadas (cada coluna são coeficientes em \beta):
  • Para w_{1}=u_{1}-u_{2}-u_{3} os coeficientes na base \beta são \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Para w_{2}=0\cdot u_{1}+2u_{2}+3u_{3} os coeficientes são \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Para w_{3}=3u_{1}+0\cdot u_{2}+3u_{3} os coeficientes são \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Portanto, montando as colunas na ordem w_{1},w_{2},w_{3}, obtemos
[I]_{\gamma}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Queremos [I]_{\beta}^{\gamma}=\big([I]_{\gamma}^{\beta}\big)^{-1}. Denotemos
A=[I]_{\gamma}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
Vamos calcular A^{-1} passo a passo (determinante, cofatores, adjunta, dividir por determinante).]

Passo 5

Cálculo do determinante de A. Expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
Agora os cálculos:
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix}=2\cdot 3-0\cdot 3=6,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}=(-1)\cdot 3 - 2\cdot(-1) = -3+2 = -1.
Logo
\det(A)=1\cdot 6 + 3\cdot(-1)=6-3=3.]

Passo 6

Cálculo da matriz dos cofatores (vou calcular cada menor e aplicar o sinal (-1)^{i+j}).
Menores e cofatores:
\begin{aligned} M_{11}&=\det\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]3&3\end{pmatrix}=6,&\quad C_{11}&=+6,\\[4pt] M_{12}&=\det\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]-1&3\end{pmatrix}=-3,&\quad C_{12}&=-M_{12}=3,\\[4pt] M_{13}&=\det\begin{pmatrix}-1&2\\[4pt]-1&3\end{pmatrix}=-1,&\quad C_{13}&=+(-1)=-1,\\[6pt] M_{21}&=\det\begin{pmatrix}0&3\\[4pt]3&3\end{pmatrix}=-9,&\quad C_{21}&=-M_{21}=9,\\[4pt] M_{22}&=\det\begin{pmatrix}1&3\\[4pt]-1&3\end{pmatrix}=6,&\quad C_{22}&=+6,\\[4pt] M_{23}&=\det\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]-1&3\end{pmatrix}=3,&\quad C_{23}&=-3,\\[6pt] M_{31}&=\det\begin{pmatrix}0&3\\[4pt]2&0\end{pmatrix}=-6,&\quad C_{31}&=+(-6)=-6,\\[4pt] M_{32}&=\det\begin{pmatrix}1&3\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}=3,&\quad C_{32}&=-3,\\[4pt] M_{33}&=\det\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]-1&2\end{pmatrix}=2,&\quad C_{33}&=+2. \end{aligned}
A matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} 6 & 3 & -1\\[4pt] 9 & 6 & -3\\[4pt] -6 & -3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

A adjunta (adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores. Assim
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} 6 & 9 & -6\\[4pt] 3 & 6 & -3\\[4pt] -1 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
Finalmente,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 6 & 9 & -6\\[4pt] 3 & 6 & -3\\[4pt] -1 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
Simplificando as frações em cada entrada,
[I]_{\beta}^{\gamma}=A^{-1}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & -1 & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora respondemos (b): converter [u]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix} para coordenadas na base \gamma. Usamos
[u]_{\gamma}=[I]_{\beta}^{\gamma}\,[u]_{\beta}.
Multiplicando:
\begin{pmatrix} 2 & 3 & -2\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & -1 & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 3\cdot 2 + (-2)\cdot 3\\[6pt] 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + (-1)\cdot 3\\[6pt] -\tfrac{1}{3}\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + \tfrac{2}{3}\cdot 3 \end{pmatrix}.
Calculemos cada entrada:
\begin{aligned} \text{1ª entrada} &= 2 + 6 - 6 = 2,\\[4pt] \text{2ª entrada} &= 1 + 4 - 3 = 2,\\[4pt] \text{3ª entrada} &= -\tfrac{1}{3} - 2 + 2 = -\tfrac{1}{3}. \end{aligned}ªªª
Portanto
[u]_{\gamma}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{\gamma}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\[4pt] -1 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}, \qquad [I]_{\beta}^{\gamma}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & -1 & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}
[u]_{\gamma}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}

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