Considere o subconjunto de vetores \beta=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}.
(a) Mostre que \beta é uma base para \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontre a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i, j, k\} de \mathbb{R}^{3} para a base \beta. Qual é a matriz de mudança de coordenadas A^{\prime} da base \beta para a base canônica?
(c) Quais são as coordenadas dos vetores canônicos i, j e k em relação à base \beta ?
(d) Se o ponto P tem coordenadas (1,-2,5) no sistema \{O, i, j, k\}, quais são as coordenadas de P no sistema \{O, \beta\} ?
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto \beta=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} de \mathbb{R}^{3} e pergunta:
(a) Mostrar que \beta é uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontrar a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i,j,k\} para a base \beta e a matriz A^{\prime} da base \beta para a base canônica.
(c) Encontrar as coordenadas dos vetores canônicos i, j, k em relação à base \beta.
(d) Se P tem coordenadas (1,-2,5) no sistema \{O,i,j,k\}, encontrar as coordenadas de P no sistema \{O,\beta\}.
Informações dadas que vamos usar: os três vetores (1,1,0), (0,1,1) e (1,0,1). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeira ação técnica: organizar esses vetores como colunas de uma matriz. Chamemos
onde cada coluna é um vetor de \beta escrito nas coordenadas da base canônica. Observação importante (didática): quando colocamos os vetores de \beta como colunas numa matriz S, essa matriz transforma coordenadas em \beta para coordenadas canônicas via
\text{(coordenadas canônicas)} = S\cdot\text{(coordenadas em \(\beta\))}.ô]
Passo 3
Para provar que \beta é uma base basta mostrar que os vetores são linearmente independentes (ou que a matriz S é invertível). Um teste direto: calcular o determinante de S. Calculemos
Como \det(S)\neq 0, a matriz S é invertível e as colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Portanto \beta é uma base de \mathbb{R}^3. (Explicação didática: uma base é um conjunto de vetores que gera o espaço e é linearmente independente; invertibilidade de S garante ambas as propriedades.)
Agora relacionando com as matrizes de mudança de base pedidas: a matriz que leva coordenadas em \beta para coordenadas canônicas é precisamente S. Em notação de mudança de base:
A^{\prime}=\text{(matriz da base \(\beta\) para a canônica)}=S.ô
A matriz que leva coordenadas canônicas para coordenadas na base \beta é o inverso:
A=\text{(matriz da canônica para \(\beta\))}=S^{-1}.ô
Vou calcular S^{-1} explicitamente.
Passo 5
Calcular S^{-1} por eliminação de Gauss (escrevendo [S\mid I] e reduzindo). Começamos com
Coordenadas dos vetores canônicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) em relação à base \beta: essas coordenadas são exatamente as colunas de A=S^{-1} (porque A transforma coordenadas canônicas em coordenadas em \beta). Assim: