Considere o subconjunto de vetores \beta=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}.
(a) Mostre que \beta é uma base para \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontre a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i, j, k\} de \mathbb{R}^{3} para a base \beta. Qual é a matriz de mudança de coordenadas A^{\prime} da base \beta para a base canônica?
(c) Quais são as coordenadas dos vetores canônicos i, j e k em relação à base \beta ?
(d) Se o ponto P tem coordenadas (1,-2,5) no sistema \{O, i, j, k\}, quais são as coordenadas de P no sistema \{O, \beta\} ?

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto \beta=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} de \mathbb{R}^{3} e pergunta:
(a) Mostrar que \beta é uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontrar a matriz de mudança de coordenadas A da base canônica \{i,j,k\} para a base \beta e a matriz A^{\prime} da base \beta para a base canônica.
(c) Encontrar as coordenadas dos vetores canônicos i, j, k em relação à base \beta.
(d) Se P tem coordenadas (1,-2,5) no sistema \{O,i,j,k\}, encontrar as coordenadas de P no sistema \{O,\beta\}.
Informações dadas que vamos usar: os três vetores (1,1,0), (0,1,1) e (1,0,1). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Primeira ação técnica: organizar esses vetores como colunas de uma matriz. Chamemos
S=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde cada coluna é um vetor de \beta escrito nas coordenadas da base canônica. Observação importante (didática): quando colocamos os vetores de \beta como colunas numa matriz S, essa matriz transforma coordenadas em \beta para coordenadas canônicas via
\text{(coordenadas canônicas)} = S\cdot\text{(coordenadas em \(\beta\))}.ô]

Passo 3

Para provar que \beta é uma base basta mostrar que os vetores são linearmente independentes (ou que a matriz S é invertível). Um teste direto: calcular o determinante de S. Calculemos
\det(S)= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det(S)=1\cdot\begin{vmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{vmatrix} -0\cdot(\cdots) +1\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{vmatrix}.
Compute cada menor:
\begin{vmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1, \qquad \begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
Logo
\det(S)=1+1=2\neq 0.]

Passo 4

Como \det(S)\neq 0, a matriz S é invertível e as colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Portanto \beta é uma base de \mathbb{R}^3. (Explicação didática: uma base é um conjunto de vetores que gera o espaço e é linearmente independente; invertibilidade de S garante ambas as propriedades.)
Agora relacionando com as matrizes de mudança de base pedidas: a matriz que leva coordenadas em \beta para coordenadas canônicas é precisamente S. Em notação de mudança de base:
A^{\prime}=\text{(matriz da base \(\beta\) para a canônica)}=S.ô
A matriz que leva coordenadas canônicas para coordenadas na base \beta é o inverso:
A=\text{(matriz da canônica para \(\beta\))}=S^{-1}.ô
Vou calcular S^{-1} explicitamente.

Passo 5

Calcular S^{-1} por eliminação de Gauss (escrevendo [S\mid I] e reduzindo). Começamos com
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Fazemos R_2\leftarrow R_2-R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Fazemos R_3\leftarrow R_3-R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Dividimos R_3 por 2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].
Eliminamos acima: R_2\leftarrow R_2+R_3 e R_1\leftarrow R_1-R_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].
A parte direita é S^{-1}. Assim
S^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Portanto as matrizes pedidas são:
A=\text{(canônica }\to\beta)=S^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad A^{\prime}=\text{(\(\beta\)\(\to\)canônica)}=S= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.ôô]

Passo 7

Coordenadas dos vetores canônicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) em relação à base \beta: essas coordenadas são exatamente as colunas de A=S^{-1} (porque A transforma coordenadas canônicas em coordenadas em \beta). Assim:
[i]_{\beta}=A\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \qquad [j]_{\beta}=A\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \qquad [k]_{\beta}=A\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Finalmente, para o ponto P com coordenadas canônicas (1,-2,5), suas coordenadas em \beta são
[P]_{\beta}=A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{pmatrix} =S^{-1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Façamos o produto (linha a linha de S^{-1}):
\begin{aligned} \text{1ª componente} &= \tfrac{1}{2}\cdot1+\tfrac{1}{2}\cdot(-2)+\big(-\tfrac{1}{2}\big)\cdot5 = \tfrac{1}{2}-1-\tfrac{5}{2}=-3,\\[4pt] \text{2ª componente} &= -\tfrac{1}{2}\cdot1+\tfrac{1}{2}\cdot(-2)+\tfrac{1}{2}\cdot5 = -\tfrac{1}{2}-1+\tfrac{5}{2}=1,\\[4pt] \text{3ª componente} &= \tfrac{1}{2}\cdot1-\tfrac{1}{2}\cdot(-2)+\tfrac{1}{2}\cdot5 = \tfrac{1}{2}+1+\tfrac{5}{2}=4. \end{aligned}ªªª
Logo [P]_{\beta}=(-3,\,1,\,4).]

Resposta

(a) \beta é base de \mathbb{R}^{3} porque \det(S)=2\neq0.
(b) A=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix},\qquad A^{\prime}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
(c) [i]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\quad [j]_{\beta}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\quad [k]_{\beta}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
(d) [P]_{\beta}=(-3,\,1,\,4).]

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