No espaço vetorial real
, considere os seguintes subespaços:
Determine
e
. Verifique que em qualquer dos casos
.
Passo 1
O enunciado dá quatro subespaços de
e pede duas coisas: (1) determinar a dimensão de cada um deles — isto é,
; (2) verificar as igualdades
As informações dadas são as definições dos subespaços:
Passo 2
Antes de calcular dimensões, vamos rever o que é dimensão e como encontrá‑la, bem devagarinho. A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que
- gera o subespaço (ou seja, qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores), e
- é linearmente independente (ou seja, a única combinação linear desses vetores que dá o vetor nulo é a combinação em que todos os coeficientes são zero).
Exemplo simples para fixar: em
os vetores
e
formam uma base porque qualquer
pode ser escrito como
e os dois vetores são linearmente independentes. Assim
.
Vamos aplicar esse procedimento: para cada subespaço encontraremos um conjunto pequeno de vetores que gere e que seja independente; o número desses vetores será a dimensão.
Passo 3
Analisando
. Um vetor genérico em
tem a forma
. Observe que
Logo os vetores
geram
. Agora verificar independência linear: suponha que
. Isso é
portanto
e
. Assim
é independente. Concluímos que é uma base de
com dois vetores, então
Passo 4
Analisando
. Um vetor genérico em
é
. Analogamente,
Tomando
vemos que esses vetores geram
. Verificando independência: se
então
logo
. Portanto
é base de
e
Passo 5
Analisando
. Um vetor genérico em
é
. Note que
O único vetor necessário para gerar
é
Esse vetor é não nulo, logo é linearmente independente (um conjunto com um único vetor não nulo é independente). Assim
é base de
e
Passo 6
Analisando
. Um vetor genérico em
é
. Assim o conjunto
gera
. Novamente é um único vetor não nulo, logo independente. Consequentemente
é base de
e
Passo 7
Agora lembramos que
tem dimensão 3, por exemplo a base padrão é
logo
Verificação das igualdades pedidas:
Como comentário prático (útil para prova): as identidades acima refletem o fato de que qualquer vetor
pode ser escrito como soma de um vetor de
com um de
,
e também como soma de um vetor de
com um de
,
Isso explica por que as somas de dimensões chegam a
.