No espaço vetorial real mathbb{R}^{3}, considere os seguintes subespaços:
\begin{gathered} A=\left\{(a, b, 0) \in \mathbb{R}^{3}: a, b \in \mathbb{R}\right\} ; \\ B=\left\{(0, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: b, c \in \mathbb{R}\right\} ; \\ C=\left\{(0,0, c) \in \mathbb{R}^{3}: c \in \mathbb{R}\right\} ; \\ D=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: a=b=c\right\} . \end{gathered}
Determine \operatorname{dim}(A), \operatorname{dim}(B), \operatorname{dim}\text{(C)} e \operatorname{dim}(D). Verifique que em qualquer dos casos \operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{3}\right)= \operatorname{dim}(A)+\operatorname{dim}\text{(C)}=\operatorname{dim}(B)+\operatorname{dim}(D).

Passo 1

O enunciado dá quatro subespaços de \mathbb{R}^{3} e pede duas coisas: (1) determinar a dimensão de cada um deles — isto é, \operatorname{dim}(A),\operatorname{dim}(B),\operatorname{dim}\text{(C)},\operatorname{dim}(D); (2) verificar as igualdades
\operatorname{dim}\bigl(\mathbb{R}^{3}\bigr)=\operatorname{dim}(A)+\operatorname{dim}\text{(C)}=\operatorname{dim}(B)+\operatorname{dim}(D).
As informações dadas são as definições dos subespaços:
A=\{(a,b,0)\colon a,b\in\mathbb{R}\},
B=\{(0,b,c)\colon b,c\in\mathbb{R}\},
C=\{(0,0,c)\colon c\in\mathbb{R}\},
D=\{(a,a,a)\colon a\in\mathbb{R}\}.

Passo 2

Antes de calcular dimensões, vamos rever o que é dimensão e como encontrá‑la, bem devagarinho. A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Uma base é um conjunto de vetores que
  1. gera o subespaço (ou seja, qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores), e
  2. é linearmente independente (ou seja, a única combinação linear desses vetores que dá o vetor nulo é a combinação em que todos os coeficientes são zero).
Exemplo simples para fixar: em \mathbb{R}^{2} os vetores (1,0) e (0,1) formam uma base porque qualquer (x,y) pode ser escrito como x(1,0)+y(0,1) e os dois vetores são linearmente independentes. Assim \operatorname{dim}(\mathbb{R}^{2})=2.
Vamos aplicar esse procedimento: para cada subespaço encontraremos um conjunto pequeno de vetores que gere e que seja independente; o número desses vetores será a dimensão.

Passo 3

Analisando A. Um vetor genérico em A tem a forma (a,b,0). Observe que
(a,b,0)=a\,(1,0,0)+b\,(0,1,0).
Logo os vetores
\mathbf{e}_1=(1,0,0),\qquad \mathbf{e}_2=(0,1,0)
geram A. Agora verificar independência linear: suponha que \alpha\mathbf{e}_1+\beta\mathbf{e}_2=\mathbf{0}. Isso é
(\alpha,\beta,0)=(0,0,0),
portanto \alpha=0 e \beta=0. Assim \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\} é independente. Concluímos que é uma base de A com dois vetores, então
\operatorname{dim}(A)=2.

Passo 4

Analisando B. Um vetor genérico em B é (0,b,c). Analogamente,
(0,b,c)=b\,(0,1,0)+c\,(0,0,1).
Tomando
\mathbf{f}_1=(0,1,0),\qquad \mathbf{f}_2=(0,0,1),
vemos que esses vetores geram B. Verificando independência: se \alpha\mathbf{f}_1+\beta\mathbf{f}_2=\mathbf{0} então
(0,\alpha,\beta)=(0,0,0),
logo \alpha=\beta=0. Portanto \{\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2\} é base de B e
\operatorname{dim}(B)=2.

Passo 5

Analisando C. Um vetor genérico em C é (0,0,c). Note que
(0,0,c)=c\,(0,0,1).
O único vetor necessário para gerar C é
\mathbf{g}=(0,0,1).
Esse vetor é não nulo, logo é linearmente independente (um conjunto com um único vetor não nulo é independente). Assim \{\mathbf{g}\} é base de C e
\operatorname{dim}\text{(C)}=1.

Passo 6

Analisando D. Um vetor genérico em D é (a,a,a)=a\,(1,1,1). Assim o conjunto
\mathbf{h}=(1,1,1)
gera D. Novamente é um único vetor não nulo, logo independente. Consequentemente \{\mathbf{h}\} é base de D e
\operatorname{dim}(D)=1.

Passo 7

Agora lembramos que \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, por exemplo a base padrão é
(1,0,0),\\ (0,1,0),\\ (0,0,1),
logo
\operatorname{dim}\bigl(\mathbb{R}^{3}\bigr)=3.
Verificação das igualdades pedidas:
\operatorname{dim}(A)+\operatorname{dim}\text{(C)}=2+1=3=\operatorname{dim}\bigl(\mathbb{R}^{3}\bigr),
\operatorname{dim}(B)+\operatorname{dim}(D)=2+1=3=\operatorname{dim}\bigl(\mathbb{R}^{3}\bigr).
Como comentário prático (útil para prova): as identidades acima refletem o fato de que qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como soma de um vetor de A com um de C,
(x,y,z)=(x,y,0)+(0,0,z),
e também como soma de um vetor de B com um de D,
(x,y,z)=(0,y-x,z-x)+(x,x,x).
Isso explica por que as somas de dimensões chegam a 3.

Resposta

\operatorname{dim}(A)=2,\\ \operatorname{dim}(B)=2,\\ \operatorname{dim}\text{(C)}=1,\\ \operatorname{dim}(D)=1.
\operatorname{dim}\bigl(\mathbb{R}^{3}\bigr)=3=\operatorname{dim}(A)+\operatorname{dim}\text{(C)}=\operatorname{dim}(B)+\operatorname{dim}(D).

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