Considere as bases B=(1,0),(1,-1) e C=(0,1),(1,1) de R^2.
Se as coordenadas do vetor v na base C são
(v)C=binom3-5
use a matriz de mudança de base correta para determinar (v)B, isto é, as coordenadas de v na base B.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B=b1=(1,0),,b2=(1,-1) e C=c1=(0,1),,c2=(1,1).
Sabemos as coordenadas de v na base C:
(v)C = binom3-5
Queremos as coordenadas de v na base B, isto é, (v)B.
Para isso usamos a estratégia:
  1. calcular v em coordenadas canônicas a partir de (v)C,
  2. depois resolver ,v = PB,(v)B, onde PB é a matriz cujas colunas são b1,b2.

Passo 2

Formamos a matriz de passagem de C para as coordenadas canônicas:
PC = l[c1;c2r] = 0 & 1 1 & 1
Então
v = PC,(v)C = 0 & 1 1 & 1 binom3-5 = binom0cdot3 + 1cdot(-5)1cdot3 + 1cdot(-5) = binom-5-2

Passo 3

Formamos a matriz de passagem de B para as coordenadas canônicas:
PB = l[b1;b2r] = 1 & 10 & -1
O determinante de PB é
det(PB) = 1cdot(-1) - 1cdot0 = -1,
logo a inversa é
PB^-1 = 1-1 -1 & -10 & 1 = 1 & 10 & -1

Passo 4

Para achar (v)B resolvemos
(v)B = PB^-1,v = 1 & 10 & -1 binom-5-2 = binom1cdot(-5) + 1cdot(-2)0cdot(-5) + (-1)cdot(-2) = binom-72

Resposta

(v)B = binom-72

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