Considere as bases B=(1,0),(1,-1) e C=(0,1),(1,1) de R^2.
Determine a matriz P de mudança da base B para C.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B=b1=(1,0),,b2=(1,-1) e C=c1=(0,1),,c2=(1,1).
Queremos a matriz de mudança de base P tal que, para todo vinR^2,
[v]C ;=; P,[v]B

Passo 2

Para montar P, basta expressar cada vetor de B como combinação linear dos vetores de C:
bj = alphaj,c1 + betaj,c2,
e então a j-ésima coluna de P é alphajbetaj.

Passo 3

Expressão de b1=(1,0) em C:
procuramos (alpha1,beta1) tais que
alpha1(0,1)+beta1(1,1) = (beta1,alpha1+beta1) = (1,0)
Dessa igualdade segue
beta1 = 1, alpha1+beta1 = 0 ;Longrightarrow; alpha1 = -1
Logo [b1]C = -11.

Passo 4

Expressão de b2=(1,-1) em C:
procuramos (alpha2,beta2) tais que
alpha2(0,1)+beta2(1,1) = (beta2,alpha2+beta2) = (1,-1)
Dessa igualdade segue
beta2 = 1, alpha2+beta2 = -1 ;Longrightarrow; alpha2 = -2
Logo [b2]C = -21.

Passo 5

A matriz P tem colunas [b1]C e [b2]C, ou seja,
P = -1 & -2 ,1 & ,1

Resposta

P = -1 & -2 ,1 & ,1

Exercícios relacionados