Determine se a seguinte operação binária em R é comutativa e/ou associativa.
x * y=min x, y

Passo 1

O enunciado define em R a operação
x*y = minx,y
Precisamos verificar duas propriedades:
  1. Comutatividade: será que para todo x,yinR vale x*y = y*x?
  2. Associatividade: será que para todo x,y,zinR vale (x*y)*z = x*(y*z)?

Passo 2

Verificação da comutatividade.
Por definição de mínimo, trocar a ordem dos argumentos não altera o resultado. Em outras palavras,
minx,y = miny,x
Logo, para todo x,y,
x*y = minx,y = miny,x = y*x,
e a operação é comutativa.

Passo 3

Verificação da associatividade.
Calculemos primeiro (x*y)*z:
(x*y)*z = minminx,y,,z = minx,y,z
Agora x*(y*z):
x*(y*z) = minx,,miny,z = minx,y,z
Como ambos dão o mesmo valor minx,y,z, temos
(x*y)*z = x*(y*z),
logo a operação é associativa.

Resposta

A operação x*y=minx,y é comutativa e associativa.

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