Determine se a seguinte operação binária em
é comutativa e/ou associativa.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
Precisamos verificar duas propriedades:
- Comutatividade: será que para todo
vale ? - Associatividade: será que para todo
vale ?
Passo 2
Verificação da comutatividade.
Por definição de mínimo, trocar a ordem dos argumentos não altera o resultado. Em outras palavras,
Por definição de mínimo, trocar a ordem dos argumentos não altera o resultado. Em outras palavras,
Logo, para todo
,
e a operação é comutativa.
Passo 3
Verificação da associatividade.
Calculemos primeiro :
Calculemos primeiro
Agora
:
Como ambos dão o mesmo valor
, temos
logo a operação é associativa.
Resposta
A operação
é comutativa e associativa.