Dada as matrizes:
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc} 5 & 3 \\\ 2 & 10 \end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rr} 7 & -1 \\\ 6 & 2 \end{array}\right], \mathrm{C}=\left[\begin{array}{ll} 5 & -2 \\\ 4 & -4 \end{array}\right], \mathrm{D}==\left[\begin{array}{cc} 4 & 2 \\\ 3 & -1 \end{array}\right] \text { e } \mathrm{E}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\\ 0 & 3 & 2 \\\ 1 & 3 & 9 \end{array}\right]
Determine os polinômios característicos \Delta(t), os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente de cada uma das matrizes (se forem diagonalizáveis).

Passo 1

O enunciado pede, para as matrizes dadas, que a gente encontre o polinômio característico \Delta(t), os autovalores, os autovetores e, quando possível, a matriz diagonal correspondente. O conteúdo aqui envolve teoria de autovalores e diagonalização de matrizes quadradas.

Passo 2

Para uma matriz 2\times2 M, o polinômio característico é
\Delta_M(t)=\det(M - tI)=t^2 - (\mathrm{tr}\,M)\,t + \det M.
Já para uma matriz 3\times3, usamos a definição direta de determinante de M - tI.

Passo 3

Aplicando isso a \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}:
– Para \mathrm{A}: \tr A=15, \det A=44 então
\Delta_A(t)=t^2 -15t +44=(t-11)(t-4),
autovalores \lambda_1=11, \lambda_2=4.
– Para \mathrm{B}: \tr B=9, \det B=16 então
\Delta_B(t)=t^2-9t+16=0\implies t=\frac{9\pm\sqrt{17}}{2},
autovalores \lambda_\pm=\tfrac{9\pm\sqrt{17}}2.
– Para \mathrm{C}: \tr C=1, \det C=-12 então
\Delta_C(t)=t^2 -t -12=(t-4)(t+3),
autovalores 4 e -3.
– Para \mathrm{D}: \tr D=3, \det D=-10 então
\Delta_D(t)=t^2 -3t -10=(t-5)(t+2),
autovalores 5 e -2.

Passo 4

Autovetores e matrizes diagonais:
\mathrm A:
(A-11I)v=0\implies y=2x, autovetor v_1=(1,2).
(A-4I)v=0\implies x=-3y, autovetor v_2=(-3,1).
\mathrm D_A=\diag(11,4).
\mathrm B:
(B-\lambda_\pm I)(x,y)=0\implies y=(7-\lambda_\pm)x, autovetores v_\pm=(1,7-\lambda_\pm).
\mathrm D_B=\diag(\lambda_+,\lambda_-).
\mathrm C:
(C-4I)v=0\implies x=2y, v_1=(2,1).
(C+3I)v=0\implies y=4x, v_2=(1,4).
\mathrm D_C=\diag(4,-3).
\mathrm D:
(D-5I)v=0\implies x=2y, v_1=(2,1).
(D+2I)v=0\implies y=-3x, v_2=(1,-3).
\mathrm D_D=\diag(5,-2).

Passo 5

Para \mathrm E\): \[\Delta_E(t)=\det(E - tI)=t^3 -13t^2 +31t -17.
Esse polinômio tem três raízes reais distintas \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3, logo E é diagonalizável.
Para cada autovalor \lambda_i, resolvemos
(E-\lambda_iI)\,(x,y,z)=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} (1-\lambda_i)x+y+2z=0,\\\ (3-\lambda_i)y+2z=0,\\\ x+3y+(9-\lambda_i)z=0. \end{cases}
Basta escolher (z=1] e obter
y=-\frac{2}{3-\lambda_i}, \quad x=\frac{4-2\lambda_i}{(3-\lambda_i)(\lambda_i-1)},
portanto um autovetor é
v_i=\Bigl(\tfrac{4-2\lambda_i}{(3-\lambda_i)(\lambda_i-1)},\,-\tfrac{2}{3-\lambda_i},\,1\Bigr).
A matriz diagonal é
\mathrm D_E=\diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3).

Resposta

A:
\Delta_A(t)=t^2-15t+44=(t-11)(t-4),
autovalores \{11,4\},
autovetores (1,2), (-3,1),
\mathrm D_A=\diag(11,4).
B:
\Delta_B(t)=t^2-9t+16,
autovalores \tfrac{9\pm\sqrt{17}}2,
autovetores (1,7-\lambda_\pm),
\mathrm D_B=\diag\bigl(\tfrac{9+\sqrt{17}}2,\tfrac{9-\sqrt{17}}2\bigr).
C:
\Delta_C(t)=t^2-t-12=(t-4)(t+3),
autovalores \{4,-3\},
autovetores (2,1), (1,4),
\mathrm D_C=\diag(4,-3).
D:
\Delta_D(t)=t^2-3t-10=(t-5)(t+2),
autovalores \{5,-2\},
autovetores (2,1), (1,-3),
\mathrm D_D=\diag(5,-2).
E:
\Delta_E(t)=t^3-13t^2+31t-17,
autovalores \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 (raízes reais distintas),
autovetores v_i=\bigl(\tfrac{4-2\lambda_i}{(3-\lambda_i)(\lambda_i-1)},-\tfrac{2}{3-\lambda_i},1\bigr),
\mathrm D_E=\diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3).

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