Determine os polinômios característicos \Delta(t), os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente de cada uma das matrizes (se forem diagonalizáveis).
Passo 1
O enunciado pede, para as matrizes dadas, que a gente encontre o polinômio característico \Delta(t), os autovalores, os autovetores e, quando possível, a matriz diagonal correspondente. O conteúdo aqui envolve teoria de autovalores e diagonalização de matrizes quadradas.
Passo 2
Para uma matriz 2\times2M, o polinômio característico é
\Delta_M(t)=\det(M - tI)=t^2 - (\mathrm{tr}\,M)\,t + \det M.
Já para uma matriz 3\times3, usamos a definição direta de determinante de M - tI.
Passo 3
Aplicando isso a \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}:
– Para \mathrm{A}: \tr A=15, \det A=44 então
\Delta_A(t)=t^2 -15t +44=(t-11)(t-4),
autovalores \lambda_1=11, \lambda_2=4.
– Para \mathrm{B}: \tr B=9, \det B=16 então
Basta escolher (z=1] e obter y=-\frac{2}{3-\lambda_i}, \quad x=\frac{4-2\lambda_i}{(3-\lambda_i)(\lambda_i-1)},
portanto um autovetor é v_i=\Bigl(\tfrac{4-2\lambda_i}{(3-\lambda_i)(\lambda_i-1)},\,-\tfrac{2}{3-\lambda_i},\,1\Bigr).
A matriz diagonal é \mathrm D_E=\diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3).