Determine os polinômios característicos, os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente de cada uma das matrizes, em relação a base canônica, dos operadores lineares dados por:
F: R^{2} \rightarrow R^{2}, F(x, y)=(3 x+5 y, 2 x-7 y)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear F\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
A = \begin{pmatrix}3 & 5\\\\ 2 & -7\end{pmatrix},
e pede o polinômio característico de A, os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal que representa F nessa base após diagonalização.

Passo 2

Para achar o polinômio característico usamos
\chi_A(\lambda)=\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & 5\\\ 2 & -7-\lambda\end{pmatrix}.
Calculando o determinante:
\chi_A(\lambda) =(3-\lambda)(-7-\lambda)-5\cdot2 =\bigl(\lambda^2+4\lambda-21\bigr)-10 =\lambda^2+4\lambda-31.

Passo 3

Resolvendo \chi_A(\lambda)=0 obtemos os autovalores:
\lambda^2+4\lambda-31=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{-4\pm\sqrt{4^2+4\cdot31}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{140}}{2} =-2\pm\sqrt{35}.
Assim,
\lambda_1 = -2 + \sqrt{35}, \quad \lambda_2 = -2 - \sqrt{35}.

Passo 4

Para cada \lambda_i resolvemos (A-\lambda_i I)v=0.
Para \lambda_1=-2+\sqrt{35}, a equação em componentes é
(3-\lambda_1)x +5y =0 \quad\Longrightarrow\quad 5y = (\lambda_1-3)x.
Como \lambda_1-3 = -5+\sqrt{35}, podemos escolher
v_1 = \begin{pmatrix}5\\lambda_1-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\\ -5+\sqrt{35}\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-2-\sqrt{35}, de modo análogo \lambda_2-3=-5-\sqrt{35} e
v_2 = \begin{pmatrix}5\\\ -5-\sqrt{35}\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de mudança de base P que tem colunas v_1,v_2 diagonaliza A, e a matriz diagonal resultante é
D = P^{-1}AP =\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0\\\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2+\sqrt{35} & 0\\\\ 0 & -2-\sqrt{35} \end{pmatrix}.

Resposta

Polinômio característico:
\chi_A(\lambda)=\lambda^2+4\lambda-31.
Autovalores:
\lambda_1=-2+\sqrt{35}, \quad \lambda_2=-2-\sqrt{35}.
Autovetores (colunas de P):
v_1=\begin{pmatrix}5\\\ -5+\sqrt{35}\end{pmatrix}, \quad v_2=\begin{pmatrix}5\\\ -5-\sqrt{35}\end{pmatrix}.
Matriz diagonal correspondente:
D=\begin{pmatrix} -2+\sqrt{35} & 0\\\\ 0 & -2-\sqrt{35} \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados