Considere as bases \mathcal{B}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} e \mathcal{C}=\left\{\mathbf{g}_{1}, \mathbf{g}_{2}, \mathbf{g}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3} relacionadas pelas seguintes equações:
(a) Determine as matrizes de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C}\left(P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}\right) e de \mathcal{C} para \mathcal{B}\left(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}\right).
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases de \mathbb{R}^3, \mathcal{B}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} e \mathcal{C}=\{\mathbf{g}_1,\mathbf{g}_2,\mathbf{g}_3\}, relacionadas por
Queremos (a) a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C},
denotada P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}, e (b) a de \mathcal{C} para \mathcal{B}, P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}. Para isso,
usamos que as colunas de P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} são as
coordenadas de \mathbf{g}_j na base \mathcal{B}, e que P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}})^{-1}.
Passo 2
Em coordenadas de \mathcal{B} temos \mathbf{g}_1\leftrightarrow(1,0,-1), \mathbf{g}_2\leftrightarrow(0,2,3), \mathbf{g}_3\leftrightarrow(3,0,1). Logo
Calculamos a inversa de \displaystyle P=P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
=\begin{pmatrix}1&0&3\\\ 0&2&0\\\ -1&3&1\end{pmatrix}.
O determinante é \det P=8. O adjugado é