Questão 6

Considere a matriz de ordem 3 :
M=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
O polinômio característico de M (em forma desenvolvida) é:
a) \lambda^{3}-6 \lambda^{2}+12 \lambda-8
b) \lambda^{3}-5 \lambda^{2}+8 \lambda-4
c) \lambda^{3}-7 \lambda^{2}+16 \lambda-12
d) \lambda^{3}-4 \lambda^{2}+5 \lambda-2
e) \lambda^{3}-6 \lambda^{2}+11 \lambda-6

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de ordem 3
M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pede o polinômio característico de M. Vamos usar a definição
p_M(\lambda)=\det\bigl(\lambda I - M\bigr)
e a propriedade de que o determinante de matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Calcular \lambda I - M. Como I é a identidade de ordem 3, temos
\lambda I - M = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\\\ 0 & \lambda & 0\\\\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda - 2 & -1 & 0\\\\ 0 & \lambda - 2 & -1\\\\ 0 & 0 & \lambda - 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como \lambda I - M é triangular,
\det(\lambda I - M) =(\lambda-2)\cdot(\lambda-2)\cdot(\lambda-2) =(\lambda-2)^3.

Passo 4

Expandindo o cubo,
(\lambda-2)^3 =\lambda^3 - 3\cdot2\,\lambda^2 + 3\cdot2^2\,\lambda - 2^3 =\lambda^3 -6\lambda^2 +12\lambda -8.

Resposta

A alternativa correta é
\lambda^{3}-6\lambda^{2}+12\lambda-8,
ou seja, letra (a).

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