Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 \times 2 triangulares superiores. Sejam
\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\} \quad \text { e } \quad \mathcal{C}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\}
duas bases de V. Determine a matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B}, ou seja, a matriz P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as matrizes 2\times2 triangulares superiores e duas bases
\mathcal{B}=\{E_{11},\,E_{12},\,E_{22}\} \quad\text{e}\quad \mathcal{C}=\{C_{1},\,C_{2},\,C_{3}\},
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
C_{1}=E_{11},\; C_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; C_{3}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Queremos a matriz de mudança de base de \mathcal{C} para \mathcal{B}, P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}, que satisfaz
[v]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}\,[v]_{\mathcal{C}}.

Passo 2

Para esse tipo de mudança de base, cada coluna de P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} é o vetor de coordenadas do vetor correspondente de \mathcal{C} escrito na base \mathcal{B}.

Passo 3

O primeiro vetor de \mathcal{C} é
C_{1}=E_{11} = 1\cdot E_{11} + 0\cdot E_{12} + 0\cdot E_{22},
logo sua coluna em P é
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

O segundo vetor de \mathcal{C} é
C_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} = 1\cdot E_{11} + 1\cdot E_{12} + 0\cdot E_{22},
logo sua coluna em P é
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

O terceiro vetor de \mathcal{C} é
C_{3}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} = 1\cdot E_{11} + 1\cdot E_{12} + 1\cdot E_{22},
logo sua coluna em P é
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Juntando as colunas, obtemos
P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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