Sejam
e
. Obtenha:
d) uma base e a dimensão de
.
d) uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado dá duas famílias de polinômios e pede a base e a dimensão de
. Vou listar o que temos e o que é pedido.
-
Informações dadas:
-
. -
.
-
-
O que é pedido:
- Encontrar uma base de
. - Determinar a dimensão de
.
- Encontrar uma base de
Observação:
denota os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a
.
Passo 2
Primeiro vou esclarecer o ambiente onde a interseção é tomada:
e
. Note que
é subespaço de
(polinômios de grau ≤4 também têm grau ≤5). Logo faz sentido falar de
como o conjunto de polinômios que pertencem a ambos: são polinômios de grau ≤4 (pela condição de
) que satisfazem as condições de
e também a de
.
Passo 3
Vou caracterizar
. A condição
diz que
é raiz de
, então
é divisível por
. A condição
diz que
é raiz, então
é divisível por
. Pelo teorema do resto/fator, qualquer
é divisível por
. Como
, podemos escrever
com
(ou seja,
), para que
.
Passo 4
Agora caracterizo
. A condição
diz que
é raiz de
, então
é divisível por
. Como
, temos
com
(ou seja,
).
Passo 5
Interseção
: um polinômio
está em
sse
-
é divisível por (por ser de ), e -
é divisível por (por ser de ),
além de(já que exige grau ≤4). Portanto é divisível por
Multiplicando os fatores,
. Assim todo
satisfaz
para algum polinômio
. Como queremos
, temos
. Ou seja,
.
Passo 6
Escrevo o polinômio genérico
e desenvolvo
. Sendo
com
, obtemos
Faço a multiplicação para ficar explícito:
Portanto todo polinômio de
é da forma linear em
:
Passo 7
Mostro que os dois polinômios
geram
. Pelo passo anterior, qualquer
é combinação linear
. Logo
(eles geram todo o subespaço).
Passo 8
Verifico que
é linearmente independente. Se existirem
tais que
como polinômio nulo, então olhando o termo de maior grau (o de
) aparece apenas em
como
. Para que o polinômio todo seja zero, é necessário
. Com
temos
, e então o termo de maior grau restante é
, o que força
. Assim
, logo
e
são linearmente independentes.
Passo 9
Concluo que
é uma base de
. Como a base tem dois vetores, a dimensão de
é
.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: