Sejam U=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) / p(0)=p(1)=0\right\} e W=\left\{q(t) \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) / q(-1)=\right. 0\}. Obtenha:
d) uma base e a dimensão de U \cap W.

Passo 1

O enunciado dá duas famílias de polinômios e pede a base e a dimensão de U\cap W. Vou listar o que temos e o que é pedido.
  • Informações dadas:
    • U=\left\{p(t)\in\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) \mid p(0)=p(1)=0\right\}.
    • W=\left\{q(t)\in\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \mid q(-1)=0\right\}.
  • O que é pedido:
    • Encontrar uma base de U\cap W.
    • Determinar a dimensão de U\cap W.
Observação: \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) denota os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n.

Passo 2

Primeiro vou esclarecer o ambiente onde a interseção é tomada: U\subset\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) e W\subset\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}). Note que \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) é subespaço de \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) (polinômios de grau ≤4 também têm grau ≤5). Logo faz sentido falar de U\cap W como o conjunto de polinômios que pertencem a ambos: são polinômios de grau ≤4 (pela condição de W) que satisfazem as condições de U e também a de W.

Passo 3

Vou caracterizar U. A condição p(0)=0 diz que t=0 é raiz de p, então p(t) é divisível por t. A condição p(1)=0 diz que t=1 é raiz, então p(t) é divisível por t-1. Pelo teorema do resto/fator, qualquer p\in U é divisível por t(t-1). Como p\in\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}), podemos escrever
p(t)=t(t-1)\,s(t)
com s(t)\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (ou seja, \deg s\le 3), para que \deg p\le 5.

Passo 4

Agora caracterizo W. A condição q(-1)=0 diz que t=-1 é raiz de q, então q(t) é divisível por t+1. Como q\in\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}), temos
q(t)=(t+1)\,r(t)
com r(t)\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (ou seja, \deg r\le 3).

Passo 5

Interseção U\cap W: um polinômio p está em U\cap W sse
  • p é divisível por t(t-1) (por ser de U), e
  • p é divisível por t+1 (por ser de W),
    além de \deg p\le 4 (já que W exige grau ≤4). Portanto p é divisível por
t(t-1)(t+1).
Multiplicando os fatores, t(t-1)(t+1)=t\,(t^2-1)=t^3-t. Assim todo p\in U\cap W satisfaz
p(t)=(t^3-t)\,h(t)
para algum polinômio h(t). Como queremos \deg p\le 4, temos \deg h\le 1. Ou seja, h\in\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}).

Passo 6

Escrevo o polinômio genérico h e desenvolvo p. Sendo h(t)=a t + b com a,b\in\mathbb{R}, obtemos
p(t)=(t^3-t)(a t + b).
Faço a multiplicação para ficar explícito:
p(t)=a t^4 + b t^3 - a t^2 - b t.
Portanto todo polinômio de U\cap W é da forma linear em a,b:
p(t)=a\,(t^4 - t^2) + b\,(t^3 - t).

Passo 7

Mostro que os dois polinômios
u_1(t)=t^3 - t,\qquad u_2(t)=t^4 - t^2
geram U\cap W. Pelo passo anterior, qualquer p\in U\cap W é combinação linear p=a\,u_2 + b\,u_1. Logo \operatorname{span}\{u_1,u_2\}=U\cap W (eles geram todo o subespaço).

Passo 8

Verifico que \{u_1,u_2\} é linearmente independente. Se existirem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,u_2(t) + \beta\,u_1(t)\equiv 0
como polinômio nulo, então olhando o termo de maior grau (o de t^4) aparece apenas em \alpha\,u_2 como \alpha t^4. Para que o polinômio todo seja zero, é necessário \alpha=0. Com \alpha=0 temos \beta\,u_1(t)\equiv 0, e então o termo de maior grau restante é \beta t^3, o que força \beta=0. Assim \alpha=\beta=0, logo u_1 e u_2 são linearmente independentes.

Passo 9

Concluo que \{u_1,u_2\}=\{t^3-t,\;t^4-t^2\} é uma base de U\cap W. Como a base tem dois vetores, a dimensão de U\cap W é 2.

Resposta

Base: \{\,t^3-t,\;t^4-t^2\,\}
Dimensão: \,2

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