Sejam
e
. Obtenha:
c) uma base e a dimensāo de
.
c) uma base e a dimensāo de
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de polinômios reais:
E pede: c) uma base e a dimensão de
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- O espaço ambiente
tem dimensão (polinômios de grau : coeficientes para ). - O espaço
tem dimensão (coeficientes para ). - As condições
, e são condições lineares do tipo “avaliação em um ponto = 0”.
Passo 2
Calcular
.
Conceito usado (explicação): um espaço vetorial de dimensão
submetido a uma equação linear independente tem dimensão
. A avaliação em um ponto,
, é uma forma linear. Se temos duas avaliações em pontos distintos e essas formas são linearmente independentes, cada uma reduz a dimensão em 1.
Aplicando isso:
-
tem dimensão . - As condições
e são duas restrições lineares independentes (existe polinômio que zera em e não em , e vice-versa), portanto reduzem a dimensão em .
Logo
Também podemos dar uma base explícita de
: todo
é múltiplo de
porque tem raízes em
e
. Como o grau máximo de
é
, o fator restante tem grau
. Assim uma base conveniente é
Passo 3
Calcular
.
Explicação:
tem dimensão
. A condição
é uma única restrição linear (avaliação em
), independentemente não-trivial, então reduz a dimensão em
.
Logo
Uma base explícita de
pode ser dada pelo fator
vezes polinômios de grau
, por exemplo
Passo 4
Calcular
.
Descrição do conjunto:
são os polinômios que pertencem simultaneamente a
e a
. Como
, qualquer polinômio em
tem grau
e deve anular em
. Portanto todo
é múltiplo de
.
Como o grau máximo é
, o cofator tem grau
. Assim o espaço de tais cofatores tem dimensão
, e consequentemente
Uma base explícita de
é
que são polinômios de grau
e
respectivamente.
Passo 5
Calcular
usando a fórmula da dimensão para soma de subespaços:
Substituindo os valores obtidos:
Como
, concluímos que
: a soma é todo o espaço de polinômios de grau
.
Portanto uma base natural para
é a base canônica de
: