Sejam U=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) / p(0)=p(1)=0\right\} e W=\left\{q(t) \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) / q(-1)=\right. 0\}. Obtenha:
c) uma base e a dimensāo de U+W.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de polinômios reais:
U=\{p(t)\in\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) \mid p(0)=p(1)=0\}
W=\{q(t)\in\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \mid q(-1)=0\}
E pede: c) uma base e a dimensão de U+W.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • O espaço ambiente \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) tem dimensão 6 (polinômios de grau \le 5: coeficientes para 1,t,t^2,t^3,t^4,t^5).
  • O espaço \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) tem dimensão 5 (coeficientes para 1,t,t^2,t^3,t^4).
  • As condições p(0)=0, p(1)=0 e q(-1)=0 são condições lineares do tipo “avaliação em um ponto = 0”.

Passo 2

Calcular \dim(U).
Conceito usado (explicação): um espaço vetorial de dimensão n submetido a uma equação linear independente tem dimensão n-1. A avaliação em um ponto, p\mapsto p(a), é uma forma linear. Se temos duas avaliações em pontos distintos e essas formas são linearmente independentes, cada uma reduz a dimensão em 1.
Aplicando isso:
  • \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}) tem dimensão 6.
  • As condições p(0)=0 e p(1)=0 são duas restrições lineares independentes (existe polinômio que zera em 0 e não em 1, e vice-versa), portanto reduzem a dimensão em 2.
Logo
\dim(U)=6-2=4.
Também podemos dar uma base explícita de U: todo p\in U é múltiplo de t(t-1) porque tem raízes em 0 e 1. Como o grau máximo de p é 5, o fator restante tem grau \le 3. Assim uma base conveniente é
\{\,t(t-1),\; t^2(t-1),\; t^3(t-1),\; t^4(t-1)\,\}.

Passo 3

Calcular \dim(W).
Explicação: \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) tem dimensão 5. A condição q(-1)=0 é uma única restrição linear (avaliação em -1), independentemente não-trivial, então reduz a dimensão em 1.
Logo
\dim(W)=5-1=4.
Uma base explícita de W pode ser dada pelo fator (t+1) vezes polinômios de grau \le 3, por exemplo
\{\, (t+1),\; t(t+1),\; t^2(t+1),\; t^3(t+1)\,\}.

Passo 4

Calcular \dim(U\cap W).
Descrição do conjunto: U\cap W são os polinômios que pertencem simultaneamente a U e a W. Como W\subset\mathcal{P}_4, qualquer polinômio em U\cap W tem grau \le 4 e deve anular em -1,0,1. Portanto todo r\in U\cap W é múltiplo de (t+1)t(t-1).
Como o grau máximo é 4, o cofator tem grau \le 1. Assim o espaço de tais cofatores tem dimensão 2, e consequentemente
\dim(U\cap W)=2.
Uma base explícita de U\cap W é
\{\, t(t-1)(t+1),\; t^2(t-1)(t+1)\,\},
que são polinômios de grau 3 e 4 respectivamente.

Passo 5

Calcular \dim(U+W) usando a fórmula da dimensão para soma de subespaços:
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).
Substituindo os valores obtidos:
\dim(U+W)=4+4-2=6.
Como \dim(\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}))=6, concluímos que U+W=\mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}): a soma é todo o espaço de polinômios de grau \le 5.
Portanto uma base natural para U+W é a base canônica de \mathcal{P}_{5}(\mathbb{R}):
\{\,1,\; t,\; t^2,\; t^3,\; t^4,\; t^5\,\}.

Resposta

\{\,1,\; t,\; t^2,\; t^3,\; t^4,\; t^5\,\n 6

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