Considere as bases ordenadas e para .
(a) Determine a matriz de mudança de base , isto é , a matriz que transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas deste vetor na base .
(b) O vetor . Determine as coordenadas de na base
Passo 1
O enunciado pede a matriz de mudança de base que leva as coordenadas de um vetor em (base canônica) às coordenadas em . O conteúdo aqui é “matriz de mudança de coordenadas”: para cada vetor da base (os vetores ) encontramos suas coordenadas na base e colocamos esses vetores-coluna na matriz procurada. Em seguida, aplicamos essa matriz ao vetor .
Passo 2
Para
Isso dá o sistema
Daí e . Logo as coordenadas de em são .
Passo 3
Para
Isso dá
Então , . As coordenadas de em são .
Passo 4
Para
Isso dá
Logo , . As coordenadas de em são .
Passo 5
Colocando essas coordenadas como colunas, obtemos a matriz de mudança de base de epsilon para beta:
[I]epsilon^beta = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Passo 6
Para encontrar as coordenadas de v=(1,-1,2) na base beta, multiplicamos