Considere as bases ordenadas beta=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) e epsilon=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) para R^3.
(a) Determine a matriz de mudança de base [I]epsilon^beta, isto é , a matriz que transforma as coordenadas de um vetor na base epsilon para as coordenadas deste vetor na base beta.
(b) O vetor vepsilon=(1,-1,2). Determine as coordenadas de v na base beta

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base que leva as coordenadas de um vetor em epsilon (base canônica) às coordenadas em beta. O conteúdo aqui é “matriz de mudança de coordenadas”: para cada vetor da base epsilon (os vetores e1,e2,e3) encontramos suas coordenadas na base beta e colocamos esses vetores-coluna na matriz procurada. Em seguida, aplicamos essa matriz ao vetor vepsilon=(1,-1,2).

Passo 2

Para
Isso dá o sistema
Daí e . Logo as coordenadas de em são .

Passo 3

Para
Isso dá
Então , . As coordenadas de em são .

Passo 4

Para
Isso dá
Logo , . As coordenadas de em são .

Passo 5

Colocando essas coordenadas como colunas, obtemos a matriz de mudança de base de epsilon para beta:
[I]epsilon^beta = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1

Passo 6

Para encontrar as coordenadas de v=(1,-1,2) na base beta, multiplicamos
1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 -1 2 = 1 -1-1 ;1+2 = 1 -2 3

Resposta

(a) [I]epsilon^beta = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
(b) As coordenadas de v em beta são ,(1,-2,3).

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