(2,0) Considere os polinómios v1=t^2, v2=t^2+t e v3=2 t^2-3 t+5.
(a) Escreva p(t)=t^2-3 t+10 como combinaçäo linear de v1, v2 e v3.
(b) v1, v2, v3 sáo linearmente independentes ou linearmente dependentes em P2 ?

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio p(t)=t^2-3t+10 como combinação linear de
v1(t)=t^2, v2(t)=t^2+t, v3(t)=2t^2-3t+5
no espaço vetorial P2 e, em seguida, verificar se v1,v2,v3 é linearmente independente ou dependente.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1(t)+beta,v2(t)+gamma,v3(t)=p(t)
Isso equivale a
alpha t^2 + beta,(t^2+t) + gamma,(2t^2-3t+5)=t^2-3t+10

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em potências de t, obtemos
(alpha + beta + 2gamma),t^2 + (beta - 3gamma),t + 5gamma = t^2 - 3t + 10
Igualando coeficientes, surge o sistema
alpha + beta + 2gamma = 1, beta - 3gamma = -3, 5gamma = 10

Passo 4

Da terceira equação vem gamma=2. Substituindo na segunda dá
beta - 3cdot2 = -3Rightarrow beta=3
Substituindo beta=3 e gamma=2 na primeira tem
alpha + 3 + 2cdot2 = 1Rightarrow alpha=-6
Logo
p(t)=-6,v1(t)+3,v2(t)+2,v3(t)

Passo 5

Para verificar independência, considere a combinação homogênea
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0
Repetindo o mesmo sistema com o lado direito zero, da última equação obtemos gamma=0, daí beta=0 e alpha=0. Só há solução trivial, portanto v1,v2,v3 são linearmente independentes.

Resposta

(a) p(t) = -6,v1(t) + 3,v2(t) + 2,v3(t).
(b) As funções v1,v2,v3 são linearmente independentes em P2.

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