Considere os polinómios .
(a) Escreva como combinaçäo linear de e .
(b) sáo linearmente independentes ou linearmente dependentes em ?
Passo 1
O enunciado pede para escrever o polinômio como combinação linear de
no espaço vetorial e, em seguida, verificar se é linearmente independente ou dependente.
Passo 2
Suponha que existam escalares tais que
Isso equivale a
Passo 3
Expandindo e agrupando termos em potências de , obtemos
Igualando coeficientes, surge o sistema
Passo 4
Da terceira equação vem gamma=2. Substituindo na segunda dá
beta - 3cdot2 = -3Rightarrow beta=3
Substituindo beta=3 e gamma=2 na primeira tem
alpha + 3 + 2cdot2 = 1Rightarrow alpha=-6
Logo
p(t)=-6,v1(t)+3,v2(t)+2,v3(t)
Passo 5
Para verificar independência, considere a combinação homogênea
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0
Repetindo o mesmo sistema com o lado direito zero, da última equação obtemos gamma=0, daí beta=0 e alpha=0. Só há solução trivial, portanto v1,v2,v3 são linearmente independentes.
Resposta
(a) p(t) = -6,v1(t) + 3,v2(t) + 2,v3(t).
(b) As funções v1,v2,v3 são linearmente independentes em P2.