Considere as bases ordenadas beta=(-1,1,2),(0,2,-3),(2,2,-2) e epsilon=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) para R^3.
(a) Determine a matriz de mudança de base [I]epsilon^beta, isto é , a matriz que transforma as coordenadas de um vetor na base epsilon para as coordenadas deste vetor na base beta.
(b) O vetor vepsilon=(3,1,2). Determine as coordenadas de v na base beta.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
beta=(-1,1,2),(0,2,-3),(2,2,-2) e a canônica epsilon=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Queremos (a) a matriz de mudança de base [I]epsilon^beta que leva coordenadas em epsilon para coordenadas em beta, e (b) aplicar essa matriz ao vetor boldsymbol vepsilon=(3,1,2) para achar boldsymbol vbeta.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de beta escritos na base epsilon. Denotemos
P = -1 & 0 & 2 1 & 2 & 2 2 & -3 & -2
Por construção temos a relação
[v]epsilon ;=; P,[v]beta
Logo a matriz que leva coordenadas de epsilon para beta é P^-1.

Passo 3

Para inverter P calculamos seu determinante e a adjunta.
Expandindo pela primeira linha,
det(P) = -1cdotdet2&2-3&-2 +0cdotcdots +2cdotdet1&22&-3 = -1,(2cdot(-2)-2cdot(-3)) + 2,(1cdot(-3)-2cdot2) = -2 -14 = -16
A matriz de cofatores (antes da transposição) é
C = 2 & 6 & -7 -6 & -2 & -3 -4 & 4 & -2 ,
portanto a adjunta adj(P)=C^T. Assim
P^-1 = 1det(P),adj(P) = 1-16 2 & -6 & -4 6 & -2 & 4 -7 & -3 & -2

Passo 4

Simplificando os coeficientes obtemos a matriz de mudança de base
[I]epsilon^beta ;=; P^-1 = -tfrac18 & tfrac38 & tfrac14[6pt] -tfrac38 & tfrac18 & -tfrac14[6pt] tfrac716 & tfrac316 & tfrac18 ]

Passo 5

Para achar boldsymbol vbeta basta multiplicar [I]epsilon^beta por boldsymbol vepsilon=(3,1,2):
boldsymbol vbeta = -tfrac18 & tfrac38 & tfrac14 -tfrac38 & tfrac18 & -tfrac14 tfrac716 & tfrac316 & tfrac18 312 = -tfrac38+tfrac38+tfrac24[4pt] -tfrac98+tfrac18-tfrac24[4pt] tfrac2116+tfrac316+tfrac28 = tfrac12[4pt] -tfrac32[4pt] tfrac74 ]

Resposta

(a) [I]epsilon^beta = -tfrac18 & tfrac38 & tfrac14 -tfrac38 & tfrac18 & -tfrac14 tfrac716 & tfrac316 & tfrac18
(b) boldsymbol vbeta=(tfrac12,,-tfrac32,;tfrac74).

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