Seja V o subespaço de R^3 gerado pelos vetores:
v1=(1,1,2), v2=(2,2,4), v3=(0,1,1), v4=(3,4,7)
Determine uma base de V.

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço VsubsetR^3 gerado pelos vetores v1=(1,1,2), v2=(2,2,4), v3=(0,1,1) e v4=(3,4,7). O conteúdo aqui é encontrar um conjunto de vetores linearmente independentes que gere o mesmo espaço, usando eliminação de Gauss para determinar dependências lineares.

Passo 2

Organizamos os vetores como colunas de uma matriz A e aplicamos eliminação de Gauss para achar as colunas-pivô:
A = 1 & 2 & 0 & 3 1 & 2 & 1 & 4 2 & 4 & 1 & 7
Fazemos R2 R2 - R1 e R3 R3 - 2R1, obtendo
1 & 2 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1

Passo 3

Prosseguimos com R3 R3 - R2, levando a
1 & 2 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0
Os pivôs aparecem nas colunas 1 e 3.

Passo 4

As colunas-pivô correspondem aos vetores v1 e v3, que são linearmente independentes e geram todo V. Logo, uma base de V é
,(1,1,2),,(0,1,1)

Resposta

Uma base de V é
,(1,1,2),,(0,1,1)

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