Seja o subespaço de
definido
Encontre uma base ortogonal de
e determine dimensão de
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
que é um plano que passa pela origem em
. Queremos encontrar uma base ortogonal de
e, em seguida, determinar
. Para isso, vamos primeiro obter dois vetores lineares independentes que satisfazem a equação do plano e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para torná-los ortogonais.
Passo 2
Escolhemos como vetores iniciais dois vetores em
obtidos pela parametrização da equação
. Por exemplo, deixando
e
, temos
logo
Tomamos então
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt a
. Primeiro definimos
Em seguida,
onde
e
.
Logo
e
Logo
e definimos
Para ficar com coordenadas inteiras, podemos multiplicar
por 10, obtendo
Verifica-se imediatamente que
,
ou seja, e
são ortogonais.
ou seja,
Passo 4
Qualquer base ortogonal de
pode ser dada por
Resposta
A base ortogonal de
pode ser
e
.