Seja o subespaço de R^3 definido
S=(x, y, z) in R^3 mid 2 x-4 y+z=0
Encontre uma base ortogonal de S e determine dimensão de S.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S=(x,y,z)inR^3mid 2x-4y+z=0
que é um plano que passa pela origem em R^3. Queremos encontrar uma base ortogonal de S e, em seguida, determinar dim(S). Para isso, vamos primeiro obter dois vetores lineares independentes que satisfazem a equação do plano e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para torná-los ortogonais.

Passo 2

Escolhemos como vetores iniciais dois vetores em S obtidos pela parametrização da equação 2x-4y+z=0. Por exemplo, deixando y=s e z=t, temos
x=2y-tfrac12z =2s-tfrac12t,
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(x,y,z) = s,(2,1,0) ;+; t,(-tfrac12,0,1)
Tomamos então
v1 = (2,1,0), v2 = l(-tfrac12,0,1r)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt a v1,v2. Primeiro definimos
u1 = v1 = (2,1,0)
Em seguida,
proju1(v2) =lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1,
onde
lang<= v2,u1rang<= = 2cdot(-tfrac12)+1cdot0+0cdot1 = -1
e
lang<= u1,u1rang<= = 2^2+1^2+0^2 = 5.
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proju1(v2) =l(-tfrac15r),(2,1,0) =l(-tfrac25,-tfrac15,0r),
e definimos
u2 = v2 - proju1(v2) =l(-tfrac12,0,1r) -l(-tfrac25,-tfrac15,0r) =l(-tfrac110,tfrac15,1r)
Para ficar com coordenadas inteiras, podemos multiplicar u2 por 10, obtendo
w2 = (-1,2,10)
Verifica-se imediatamente que
lang<= u1,w2rang<= = 2cdot(-1)+1cdot2+0cdot10 = 0,
ou seja, u1 e w2 são ortogonais.

Passo 4

Qualquer base ortogonal de S pode ser dada por
,u1,;w2 =(2,1,0),,(-1,2,10)

Resposta

A base ortogonal de S pode ser
(2,1,0),,(-1,2,10),
e dim(S)=2.

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