Julgue a afirmação a seguir:
" O subconjunto de é linearmente independente. "
Falso
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
com
e pede para julgar se esses vetores são linearmente independentes. O conteúdo aqui é critério de independência linear, que se verifica encontrando as constantes tais que
e mostrando que a única solução é .
Passo 2
Escrevemos a combinação linear igual ao vetor zero e geramos o sistema de equações coordenada a coordenada:
Isso dá o sistema
Passo 3
Da primeira equação alpha + beta = 0 obtemos
alpha = -,beta
Da segunda equação 3beta - gamma = 0 vem
gamma = 3beta
Passo 4
Substituindo alpha=-beta e gamma=3beta na terceira equação -alpha - beta + 2gamma = 0, temos
Logo alpha = -beta = 0 e gamma = 3beta = 0. A quarta equação é satisfeita automaticamente por esses valores.
Passo 5
Como a única solução do sistema é alpha=beta=gamma=0, concluímos que não existe combinação não trivial que produza o vetor zero. Portanto v1,v2,v3 são linearmente independentes.
Resposta
Verdadeiro. (1,0,-1,2),(1,3,-1,5),(0,-1,2,-1) é um conjunto linearmente independente em R^4.