Julgue a afirmação a seguir:
" O subconjunto W=(1,0,-1,2),(1,3,-1,5),(0,-1,2,-1) de R^4 é linearmente independente. "
Falso

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
W = v1,v2,v3 subset R^4
com
v1 = (1,0,-1,2), v2 = (1,3,-1,5), v3 = (0,-1,2,-1),
e pede para julgar se esses vetores são linearmente independentes. O conteúdo aqui é critério de independência linear, que se verifica encontrando as constantes alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = 0
e mostrando que a única solução é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual ao vetor zero e geramos o sistema de equações coordenada a coordenada:
alpha,(1,0,-1,2) + beta,(1,3,-1,5) + gamma,(0,-1,2,-1) = (0,0,0,0)
Isso dá o sistema
alpha + beta = 0, 3beta - gamma = 0, -,alpha - beta + 2gamma = 0, 2alpha + 5beta - gamma = 0

Passo 3

Da primeira equação alpha + beta = 0 obtemos
alpha = -,beta
Da segunda equação 3beta - gamma = 0 vem
gamma = 3beta

Passo 4

Substituindo alpha=-beta e gamma=3beta na terceira equação -alpha - beta + 2gamma = 0, temos
-(-beta) - beta + 2,(3beta) = beta - beta + 6beta = 6beta = 0 ;Longrightarrow; beta = 0
Logo alpha = -beta = 0 e gamma = 3beta = 0. A quarta equação é satisfeita automaticamente por esses valores.

Passo 5

Como a única solução do sistema é alpha=beta=gamma=0, concluímos que não existe combinação não trivial que produza o vetor zero. Portanto v1,v2,v3 são linearmente independentes.

Resposta

Verdadeiro. (1,0,-1,2),(1,3,-1,5),(0,-1,2,-1) é um conjunto linearmente independente em R^4.

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