Considere o conjunto
I4=1,2,3,4 e a função
A: I4 times I4 R tal que
A(i, j)=ai j=|i-j| . Construa a matriz cujos elementos satisfazem esta regra.
Determine a matriz quadrada
A=(ai j) , de ordem 4 cujos elementos são dados por
ai j= 2 i-3 j, & se i<j i^2+2 j, & se i=j -3 i+4 j, & se i>j
Uma matriz
B é uma raiz quadrada de uma matriz
A se
B^2=A
(a) Determine duas raízes quadradas de
(b) Quantas raízes quadradas distintas de
existem? Justifique.
(c) Qualquer matriz
2 times 2 tem pelo menos uma raiz quadrada? Justifique.
4. Seja
B in Mn(R) . Mostre que
(a) As matrizes
B B^T, B+B^T e
12(B+B^T) são simétricas.
(b) A matriz
12(B-B^T) é antissimétrica.
(c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.
5. Seja
A=(ai j) uma matriz quadrada de ordem
n . O traço de
A , denotado por
tr(A) , é definido como sendo o número real
tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+cdots an n
ou seja, o traço de
A é a soma dos elementos da diagonal principal de
A . Dadas
A e
B matrizes de ordem 2 , mostre que valem as seguintes propriedades
(a)
tr(A+B)=tr(A)+tr(B) .
(b)
tr(k A)=k tr(A), k in R .
(c)
tr(A^T)=tr(A) .
(d)
tr(A B)=tr(B A) .
(e) Usando algumas destas propriedades verifique que não existem
A e
B , matrizes quadradas de ordem 2, tais que
A B-B A=I .
6. Se
A é uma matriz
n times n , quais são os elementos da diagonal principal de
A-A^T ? Justifique a resposta.
7. Dizemos que uma matriz
A é ortogonal se, e somente se,
A A^T=I . Determine:
(a) Os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais?
8. Determine o número real
m de modo que a matriz
seja ortogonal.
9. Considere a matriz
A=(cccc a11 & 0 & cdots & 0 0 & a22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & an n )
onde
a11 a22 a33 cdots an n neq 0 . Determine
A^-1 , a inversa de
A , se existir.
10. Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de
A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto
A B .
(b) ( ) Se a primeira linha de
A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto
A B .
(c) ( ) Se a soma de matrizes
A B+B A estiver definida, então
A e
B devem ser matrizes quadradas.
(d) () Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então
A^2 tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se
A é uma matriz quadrada e
A^2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente
A tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se
A A^T é uma matriz singular (nãao inversível), então
A não é inversível.
(g) ( ) Se
A é inversível e
A B=0 , então necessariamente
B é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes inversíveis é sempre uma matriz inversível.
(i) ( ) Se
A é uma matriz quadrada tal que
A^4=0 , então
(I-A)^-1=I+A+A^2+A^3 .
11. Dadas as matrizes
A=(cccc 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 ) e B=(cccc -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2 )
determine:
(a)
det(A B)
(c)
B^-1
(e)
det(C) , onde
C A^T=3 B C^2 .
(b)
A^-1
(d)
(B A)^-1
12. Dada a matriz
A=(cccc 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 ),
determine:
(a)
det A utilizando as operações elementares sobre as linhas de
A .
(b)
det(A^T)
(c)
det(A^2)
(d)
A^-1
(e)
det(-A)
(f)
det(3 A A^T)
13. Seja
A in Mn(R) , mostre que ao multiplicarmos
A por uma constante
k in R , o determinande de
A fica multiplicado pela constante elevada à ordem da matriz, ou seja,
det(k cdot A)=k^n cdot det A .