Considere as bases ordenadas beta=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) e epsilon=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) para R^3.
(a) Determine a matriz de mudança de base [I]ell^beta, isto é , a matriz que transforma as coordenadas de um vetor na base epsilon para as coordenadas deste vetor na base beta.
(b) O vetor vepsilon=(6,3,9). Determine as coordenadas de v na base beta

Passo 1

O enunciado dá duas bases em R^3: a base padrão epsilon=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e a base
beta=b1,b2,b3 com
b1=(1,1,1), b2=(-1,1,0), b3=(1,0,-1)
Queremos (a) a matriz que leva coordenadas em epsilon para coordenadas em beta e (b) aplicar essa matriz ao vetor
,vepsilon=(6,3,9),.

Passo 2

Montamos a matriz S cujas colunas são as coordenadas de b1,b2,b3 na base padrão epsilon. Logo,
S = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1
Por construção vale
[v]epsilon ;=; S,[v]beta,
pois multiplicar S pelas coordenadas em beta dá as coordenadas em epsilon.

Passo 3

Para obter [v]beta em função de [v]epsilon basta inverter S. Assim a matriz de mudança de base pedida é
[I]epsilon^beta ;=; S^-1,
pois
[v]beta ;=; S^-1,[v]epsilon

Passo 4

Calculamos det(S). Desenvolvendo pela primeira linha, achamos
det(S) = 1cdot(-1) -(-1)cdot(-1) +1cdot(-1)= -1 -1 -1 = -3

Passo 5

Usamos a matriz dos cofatores para inverter S. O adjugado de S é
adj(S) = -1 & -1 & -1 1 & -2 & 1 -1 & -1 & 2 ^T = -1 & 1 & -1 -1 & -2 & -1 -1 & 1 & 2
Então
S^-1 = 1det(S),adj(S) = -13 -1 & 1 & -1 -1 & -2 & -1 -1 & 1 & 2 = 13 1 & 1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -2

Passo 6

Logo a matriz de mudança de base de epsilon para beta é
[I]epsilon^beta = 13 1 & 1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -2

Passo 7

Para o vetor vepsilon=(6,3,9) calculamos
[v]beta = 13 1 & 1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -2 639 = 13 6+3+9 -6+6-9 6+3-18 = 6-3-3

Resposta

(a)
[I]epsilon^beta = 13 1 & 1 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -2
(b)
[v]beta = (6,,-3,,-3)

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