Considere o conjunto e a função tal que . Construa a matriz cujos elementos satisfazem esta regra.
Determine a matriz quadrada , de ordem 4 cujos elementos são dados por
Uma matriz B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B^2=A
(a) Determine duas raízes quadradas de
A=(ll 2 & 2 2 & 2 )
(b) Quantas raízes quadradas distintas de
A=(ll 5 & 0 0 & 9 )
existem? Justifique.
(c) Qualquer matriz 2 times 2 tem pelo menos uma raiz quadrada? Justifique.
4. Seja B in Mn(R). Mostre que
(a) As matrizes B B^T, B+B^T e 12(B+B^T) são simétricas.
(b) A matriz 12(B-B^T) é antissimétrica.
(c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.
5. Seja A=(ai j) uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por tr(A), é definido como sendo o número real
tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+cdots an n
ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes de ordem 2 , mostre que valem as seguintes propriedades
(a) tr(A+B)=tr(A)+tr(B).
(b) tr(k A)=k tr(A), k in R.
(c) tr(A^T)=tr(A).
(d) tr(A B)=tr(B A).
(e) Usando algumas destas propriedades verifique que não existem A e B, matrizes quadradas de ordem 2, tais que A B-B A=I.
6. Se A é uma matriz n times n, quais são os elementos da diagonal principal de A-A^T ? Justifique a resposta.
7. Dizemos que uma matriz A é ortogonal se, e somente se, A A^T=I. Determine:
(a) Os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais?
8. Determine o número real m de modo que a matriz
onde a11 a22 a33 cdots an n neq 0. Determine A^-1, a inversa de A, se existir.
10. Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto A B.
(b) ( ) Se a primeira linha de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto A B.
(c) ( ) Se a soma de matrizes A B+B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas.
(d) () Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A^2 tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se A é uma matriz quadrada e A^2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se A A^T é uma matriz singular (nãao inversível), então A não é inversível.
(g) ( ) Se A é inversível e A B=0, então necessariamente B é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes inversíveis é sempre uma matriz inversível.
(i) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A^4=0, então (I-A)^-1=I+A+A^2+A^3.
11. Dadas as matrizes
determine:
(a) det A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A.
(b) det(A^T)
(c) det(A^2)
(d) A^-1
(e) det(-A)
(f) det(3 A A^T)
13. Seja A in Mn(R), mostre que ao multiplicarmos A por uma constante k in R, o determinande de A fica multiplicado pela constante elevada à ordem da matriz, ou seja, det(k cdot A)=k^n cdot det A.
Passo 1
O enunciado pede para construir uma matriz 4times4 cujos elementos são dados por
aij = |,i - j,|,
onde i,jin1,2,3,4. O conteúdo aqui é “definição de matriz por fórmula de índices” e vamos apenas calcular o valor absoluto da diferença entre o índice da linha i e o índice da coluna j.