3.1.2 Operações com matrizes

  1. Considere o conjunto I4=1,2,3,4 e a função A: I4 times I4 R tal que A(i, j)=ai j=|i-j|. Construa a matriz cujos elementos satisfazem esta regra.
  2. Determine a matriz quadrada A=(ai j), de ordem 4 cujos elementos são dados por
ai j= 2 i-3 j, & se i<j i^2+2 j, & se i=j -3 i+4 j, & se i>j
  1. Uma matriz B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B^2=A
    (a) Determine duas raízes quadradas de
A=(ll 2 & 2 2 & 2 )
(b) Quantas raízes quadradas distintas de
A=(ll 5 & 0 0 & 9 )
existem? Justifique.
(c) Qualquer matriz 2 times 2 tem pelo menos uma raiz quadrada? Justifique.
4. Seja B in Mn(R). Mostre que
(a) As matrizes B B^T, B+B^T e 12(B+B^T) são simétricas.
(b) A matriz 12(B-B^T) é antissimétrica.
(c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.
5. Seja A=(ai j) uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por tr(A), é definido como sendo o número real
tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+cdots an n
ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes de ordem 2 , mostre que valem as seguintes propriedades
(a) tr(A+B)=tr(A)+tr(B).
(b) tr(k A)=k tr(A), k in R.
(c) tr(A^T)=tr(A).
(d) tr(A B)=tr(B A).
(e) Usando algumas destas propriedades verifique que não existem A e B, matrizes quadradas de ordem 2, tais que A B-B A=I.
6. Se A é uma matriz n times n, quais são os elementos da diagonal principal de A-A^T ? Justifique a resposta.
7. Dizemos que uma matriz A é ortogonal se, e somente se, A A^T=I. Determine:
(a) Os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais?
8. Determine o número real m de modo que a matriz
M=(cc -1 & 0 0 & m )
seja ortogonal.
9. Considere a matriz
A=(cccc a11 & 0 & cdots & 0 0 & a22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & an n )
onde a11 a22 a33 cdots an n neq 0. Determine A^-1, a inversa de A, se existir.
10. Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto A B.
(b) ( ) Se a primeira linha de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto A B.
(c) ( ) Se a soma de matrizes A B+B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas.
(d) () Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A^2 tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se A é uma matriz quadrada e A^2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se A A^T é uma matriz singular (nãao inversível), então A não é inversível.
(g) ( ) Se A é inversível e A B=0, então necessariamente B é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes inversíveis é sempre uma matriz inversível.
(i) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A^4=0, então (I-A)^-1=I+A+A^2+A^3.
11. Dadas as matrizes
A=(cccc 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 ) e B=(cccc -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2 )
determine:
(a) det(A B)
(c) B^-1
(e) det(C), onde C A^T=3 B C^2.
(b) A^-1
(d) (B A)^-1
12. Dada a matriz
A=(cccc 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 ),
determine:
(a) det A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A.
(b) det(A^T)
(c) det(A^2)
(d) A^-1
(e) det(-A)
(f) det(3 A A^T)
13. Seja A in Mn(R), mostre que ao multiplicarmos A por uma constante k in R, o determinande de A fica multiplicado pela constante elevada à ordem da matriz, ou seja, det(k cdot A)=k^n cdot det A.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma matriz 4times4 cujos elementos são dados por
aij = |,i - j,|,
onde i,jin1,2,3,4. O conteúdo aqui é “definição de matriz por fórmula de índices” e vamos apenas calcular o valor absoluto da diferença entre o índice da linha i e o índice da coluna j.

Passo 2

Para cada par (i,j) com i,j=1,2,3,4, calculamos
aij = |,i - j,|
Por exemplo, na primeira linha ( i=1) temos:
a11=|1-1|=0, a12=|1-2|=1, a13=|1-3|=2, a14=|1-4|=3
Na segunda linha ( i=2):
a21=|2-1|=1, a22=|2-2|=0, a23=|2-3|=1, a24=|2-4|=2
Na terceira linha ( i=3):
a31=|3-1|=2, a32=|3-2|=1, a33=|3-3|=0, a34=|3-4|=1
Na quarta linha ( i=4):
a41=|4-1|=3, a42=|4-2|=2, a43=|4-3|=1, a44=|4-4|=0

Resposta

A matriz buscada é
0 & 1 & 2 & 3 1 & 0 & 1 & 2 2 & 1 & 0 & 1 3 & 2 & 1 & 0

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