2.1.2 Vetores no espaço: Produtos.

  1. Ache o valor de x de modo que
    (a) (x, 3,-1) cdot(1,-2,5)=7;
    (c) (x, pi, e) cdot(-1,0,3)=-2.
    (b) (x, 3,1) cdot(2,1,0)=3;
  2. Seja v neq 0 um vetor qualquer e alpha, beta, gamma os ângulos que v forma com os vetores da base canônica e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1). Estes ângulos são chamados de ângulos diretores e seus respectivos cossenos, de cossenos diretores. Determine a expressão de cada cosseno diretor de v e mostre que cos ^2 alpha+cos ^2 beta+ cos ^2 gamma=1.
  3. Um ângulo v forma com os eixos O x e O y os ângulos de alpha=120 e beta=45 respectivamente. Qual ângulo entre v e o O z ?
  4. Mostre que
e1 times e2=e3, e2 times e3=e1 e e3 times e1=e2
  1. Ache um vetor v=a e1+b e2-c e3 tal que v cdot(2 e1+3 e2)=6 e v times(2 e1+3 e2)=4 e3.
  2. De um vértice de um cubo traçam-se uma diagonal do cubo e uma diagonal de uma face.
    (a) Calcule o ângulo entre as duas diagonais;
    (b) Calcule a área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo.
  3. Calcule a área do paralelogramo que tem três vértices consecutivos nos pontos A(1,0,1, B(2,1,3) e C(3,2,-5).
  4. Verifique em cada caso se os pontos são coplanares.
    (a) A=(1,2,3), B=(-1,-5,0), C=(-2,-1,-1) e D=(-2,-4,-6).
    (b) A=(-1,0,3), B=(-1,-2,-2), C=(1,0,2) e D=(2,4,1).
  5. Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2). Determine:
    (a) os ângulos do triângulo A B C;
    (b) o vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
    (c) a altura do triângulo relativa ao maior lado;
    (d) o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores A B, A C e A B times A C.
  6. Os pontos A(4,6,2), B(1,2,1), C(3,3,3) e D=(7,4,3) podem ser vértices de um paralelepípedo? Em caso afirmativo, calcule o seu volume.

Passo 1

O enunciado propõe vários problemas sobre vetores em R^3: cálculo de incógnitas via produto escalar, cossenos diretores, ângulos entre vetores, produto vetorial de vetores da base, determinação de vetor a partir de condições de produto escalar e vetorial, cálculos de áreas e volumes usando cross e triple product, e verificação de coplanaridade. Para isso vamos usar:
1. A definição de produto escalar
vec ucdotvec v = u1v1+u2v2+u3v3.
2. A definição de produto vetorial
vec utimesvec v = (u2v3-u3v2,;u3v1-u1v3,;u1v2-u2v1).
3. Cossenos diretores
cosalphai=vi|vec v| e sumicos^2alphai=1.
4. Área de paralelogramo
|vec utimesvec v|.
5. Volume de paralelepípedo
|vec ucdot(vec vtimesvec w)|.

Passo 2

Questão 1: para cada subitem basta impor
(x,a,b)cdot(c,d,e)=7 (ou o valor pedido) e resolver para x.
(a) (x,3,-1)cdot(1,-2,5)=x-6-5=x-11=7
Logo x=18.
(b) (x,3,1)cdot(2,1,0)=2x+3=3
Logo 2x=0 e x=0.
(c) (x,pi,e)cdot(-1,0,3)=-x+3e=-2
Logo -x=-2-3e e x=3e+2.

Passo 3

Questão 2: se vec v=(v1,v2,v3)neq0 e alpha,beta,gamma são ângulos com e1,e2,e3, então
cosalpha=v1|vec v|, cosbeta=v2|vec v|, cosgamma=v3|vec v|
Como |vec v|^2=v1^2+v2^2+v3^2, segue
cos^2alpha+cos^2beta+cos^2gamma =v1^2+v2^2+v3^2|vec v|^2=1

Passo 4

Questão 3: se alpha=120^circ e beta=45^circ, então
cosalpha=-tfrac12, cosbeta=tfracraiz22. Como cos^2gamma=1-l(cos^2alpha+cos^2betar),
cos^2gamma=1-l(tfrac14+tfrac12r)=tfrac14,
logo cosgamma=tfrac12 (ângulo agudo) e gamma=60^circ.

Passo 5

Questão 4: pelo produto vetorial das bases canônicas, usando a regra de Sarrus ou determinante,
e1times e2 = e3, e2times e3 = e1, e3times e1 = e2

Passo 6

Questão 5: seja vec v=(a,b,-c) e vec w=2e1+3e2=(2,3,0).
Dot: 2a+3b=6.
Cross:
vec vtimesvec w=(3c,2c,3a-2b)=4e3=(0,0,4).
Das duas primeiras componentes segue c=0. Então as equações lineares
2a+3b=6, 3a-2b=4
têm solução a=tfrac2413,,b=tfrac1013.

Passo 7

Questão 6: num cubo de aresta a, a diagonal espacial vec d=(a,a,a) e a diagonal de face no plano xy vec f=(a,a,0).
(a)
costheta =vec dcdotvec f|vec d||vec f| =a^2+a^2araiz3;araiz2 =raiz23,
logo theta=arccosraiztfrac23.
(b) O triângulo cujos lados partem do mesmo vértice pelas diagonais vec d,vec f tem área
12|vec dtimesvec f| =12l|(a,a,a)times(a,a,0)r| =12,a^2raiz2
Para a=1 tfracraiz22.

Passo 8

Questão 7: pontos
A=(1,0,1), B=(2,1,3), C=(3,2,-5).
Lados do paralelogramo são AB=(1,1,2) e BC=(1,1,-8).
Área = |ABtimesBC|=10raiz2.

Passo 9

Questão 8: verificar coplanaridade de A,B,C,D via produto misto ABcdot(ACtimesAD).
(a) dá 46neq0, não coplanares.
(b) dá -42neq0, não coplanares.

Passo 10

Questão 9: triângulo com
AB=(0,0,1), AC=(0,1,1), BC=(0,1,0).
(a) |AB|=1, |BC|=1, |AC|=raiz2. Como ABperp BC, ângulo em B é 90^circ. Pelos cossenos, ang<= A=45^circ, ang<= C=45^circ.
(b) Projeção de AB em AC:
projACAB =ABcdot AC|AC|^2,AC =12(0,1,1)
(c) Área do triângulo = tfrac12, altura relativa a AC=raiz2 é
h=2cdot(tfrac12)raiz2=1raiz2
(d) ABtimesAC=(-1,0,0) com norma 1, então volume do paralelepípedo = 1.

Passo 11

Questão 10: pontos A,B,C,D. Vetores AB,AC,AD têm produto misto -24neq0, logo definem um paralelepípedo de volume l|-24r|=24.

Resposta

1(a) x=18 1(b) x=0 1(c) x=3e+2 2.
cosalpha=v1|vec v|,; cosbeta=v2|vec v|,; cosgamma=v3|vec v|,; cos^2alpha+cos^2beta+cos^2gamma=1.
3. gamma=60^circ 4.
;e1times e2=e3,; e2times e3=e1,; e3times e1=e2 5. vec v=2413e1+1013e2.
6(a) theta=arccosraiztfrac23 6(b) área =tfrac12,a^2raiz2 (para a=1: tfracraiz22).
7. área =10raiz2.
8(a) não coplanares
8(b) não coplanares
9(a) ang<= A=45^circ,;ang<= B=90^circ,;ang<= C=45^circ 9(b) projACAB=tfrac12(0,1,1) 9(c) h=tfrac1raiz2 9(d) volume =1.
10. sim, volume =24.

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