Seja um vetor qualquer e os ângulos que forma com os vetores da base canônica e . Estes ângulos são chamados de ângulos diretores e seus respectivos cossenos, de cossenos diretores. Determine a expressão de cada cosseno diretor de v e mostre que cos ^2 alpha+cos ^2 beta+cos ^2 gamma=1.
Um ângulo v forma com os eixos O x e O y os ângulos de alpha=120 e beta=45 respectivamente. Qual ângulo entre v e o O z ?
Mostre que
e1 times e2=e3, e2 times e3=e1 e e3 times e1=e2
Ache um vetor v=a e1+b e2-c e3 tal que v cdot(2 e1+3 e2)=6 e v times(2 e1+3 e2)=4 e3.
De um vértice de um cubo traçam-se uma diagonal do cubo e uma diagonal de uma face.
(a) Calcule o ângulo entre as duas diagonais;
(b) Calcule a área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo.
Calcule a área do paralelogramo que tem três vértices consecutivos nos pontos A(1,0,1, B(2,1,3) e C(3,2,-5).
Verifique em cada caso se os pontos são coplanares.
(a) A=(1,2,3), B=(-1,-5,0), C=(-2,-1,-1) e D=(-2,-4,-6).
(b) A=(-1,0,3), B=(-1,-2,-2), C=(1,0,2) e D=(2,4,1).
Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2). Determine:
(a) os ângulos do triângulo A B C;
(b) o vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
(c) a altura do triângulo relativa ao maior lado;
(d) o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores A B, A C e A B times A C.
Os pontos A(4,6,2), B(1,2,1), C(3,3,3) e D=(7,4,3) podem ser vértices de um paralelepípedo? Em caso afirmativo, calcule o seu volume.
Passo 1
O enunciado propõe vários problemas sobre vetores em R^3: cálculo de incógnitas via produto escalar, cossenos diretores, ângulos entre vetores, produto vetorial de vetores da base, determinação de vetor a partir de condições de produto escalar e vetorial, cálculos de áreas e volumes usando cross e triple product, e verificação de coplanaridade. Para isso vamos usar: 1. A definição de produto escalar vec ucdotvec v = u1v1+u2v2+u3v3. 2. A definição de produto vetorial vec utimesvec v = (u2v3-u3v2,;u3v1-u1v3,;u1v2-u2v1). 3. Cossenos diretores cosalphai=vi|vec v| e sumicos^2alphai=1. 4. Área de paralelogramo |vec utimesvec v|. 5. Volume de paralelepípedo |vec ucdot(vec vtimesvec w)|.
Passo 2
Questão 1: para cada subitem basta impor (x,a,b)cdot(c,d,e)=7 (ou o valor pedido) e resolver para x.
(a) (x,3,-1)cdot(1,-2,5)=x-6-5=x-11=7
Logo x=18.
(b) (x,3,1)cdot(2,1,0)=2x+3=3
Logo 2x=0 e x=0.
(c) (x,pi,e)cdot(-1,0,3)=-x+3e=-2
Logo -x=-2-3e e x=3e+2.
Passo 3
Questão 2: se vec v=(v1,v2,v3)neq0 e alpha,beta,gamma são ângulos com e1,e2,e3, então
Questão 3: se alpha=120^circ e beta=45^circ, então cosalpha=-tfrac12, cosbeta=tfracraiz22. Como cos^2gamma=1-l(cos^2alpha+cos^2betar),
cos^2gamma=1-l(tfrac14+tfrac12r)=tfrac14,
logo cosgamma=tfrac12 (ângulo agudo) e gamma=60^circ.
Passo 5
Questão 4: pelo produto vetorial das bases canônicas, usando a regra de Sarrus ou determinante,
e1times e2 = e3, e2times e3 = e1, e3times e1 = e2
Passo 6
Questão 5: seja vec v=(a,b,-c) e vec w=2e1+3e2=(2,3,0).
Dot: 2a+3b=6.
Cross: vec vtimesvec w=(3c,2c,3a-2b)=4e3=(0,0,4).
Das duas primeiras componentes segue c=0. Então as equações lineares
2a+3b=6, 3a-2b=4
têm solução a=tfrac2413,,b=tfrac1013.
Passo 7
Questão 6: num cubo de aresta a, a diagonal espacial vec d=(a,a,a) e a diagonal de face no plano xy vec f=(a,a,0).
(a)
Questão 7: pontos A=(1,0,1), B=(2,1,3), C=(3,2,-5).
Lados do paralelogramo são AB=(1,1,2) e BC=(1,1,-8).
Área = |ABtimesBC|=10raiz2.
Passo 9
Questão 8: verificar coplanaridade de A,B,C,D via produto misto ABcdot(ACtimesAD).
(a) dá 46neq0, não coplanares.
(b) dá -42neq0, não coplanares.
Passo 10
Questão 9: triângulo com AB=(0,0,1), AC=(0,1,1), BC=(0,1,0).
(a) |AB|=1, |BC|=1, |AC|=raiz2. Como ABperp BC, ângulo em B é 90^circ. Pelos cossenos, ang<= A=45^circ, ang<= C=45^circ.
(b) Projeção de AB em AC:
projACAB =ABcdot AC|AC|^2,AC =12(0,1,1)
(c) Área do triângulo = tfrac12, altura relativa a AC=raiz2 é h=2cdot(tfrac12)raiz2=1raiz2
(d) ABtimesAC=(-1,0,0) com norma 1, então volume do paralelepípedo = 1.
Passo 11
Questão 10: pontos A,B,C,D. Vetores AB,AC,AD têm produto misto -24neq0, logo definem um paralelepípedo de volume l|-24r|=24.