Considere as bases ordenadas e para o . O elemento tem a seguinte matriz de coordenadas com relação à base . Determine as coordenadas de v com relação à base B. (2,5pontos )
Passo 1
Tranquilo, o enunciado dá as bases ordenadas B=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) no R^3, sendo C a base padrão. O vetor é v=(6,3,9) e já sabemos [v]C=639. Queremos as coordenadas de v na base B, ou seja resolver mudança de base.
Passo 2
Escrevemos v como combinação linear dos vetores de B. Chamando-os de b1=(1,1,1), b2=(-1,1,0) e b3=(1,0,-1), temos
(6,3,9)=alpha,b1+beta,b2+gamma,b3
isto gera o sistema
alpha-beta+gamma=6, alpha+beta=3, alpha-gamma=9
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação beta=3-alpha.
Da terceira gamma=alpha-9.
Substituindo na primeira,