Considere as bases ordenadas B=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) para o R^3. O elemento v=(6,3,9) in R^3 tem a seguinte matriz de coordenadas com relação à base C,[v]c=[l6 3 9]. Determine as coordenadas de v com relação à base B. (2,5pontos )

Passo 1

Tranquilo, o enunciado dá as bases ordenadas B=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) no R^3, sendo C a base padrão. O vetor é v=(6,3,9) e já sabemos [v]C=639. Queremos as coordenadas de v na base B, ou seja resolver mudança de base.

Passo 2

Escrevemos v como combinação linear dos vetores de B. Chamando-os de b1=(1,1,1), b2=(-1,1,0) e b3=(1,0,-1), temos
(6,3,9)=alpha,b1+beta,b2+gamma,b3
isto gera o sistema
alpha-beta+gamma=6, alpha+beta=3, alpha-gamma=9

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação beta=3-alpha.
Da terceira gamma=alpha-9.
Substituindo na primeira,
alpha-(3-alpha)+(alpha-9)=6 ;iff; 3alpha-12=6 ;iff; alpha=6
Logo beta=3-6=-3 e gamma=6-9=-3.

Passo 4

Portanto, as coordenadas de v na base B são
(alpha,beta,gamma)=(6,-3,-3)

Resposta

[v]B=6-3-3

Exercícios relacionados