Determine c e d para que o operador seja simétrico T(x, y, z)=(x+2 z, c x+4 y+d z, 2 x-3 y+z) ( 0,75 pontos).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear TcolonR^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (,x + 2z,; c,x + 4y + d,z,; 2x - 3y + z,)
O conteúdo aqui é o de operadores simétricos em espaços euclidianos: T é simétrico se e somente se sua matriz em relação à base canônica for igual à sua transposta.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Os coeficientes são os coeficientes de x,y,z em cada coordenada de T(x,y,z). Assim
A = 1 & 0 & 2 c & 4 & d 2 & -3 & 1

Passo 3

Para T ser simétrico, deve valer
A = A^T
Isto impõe igualdade dos elementos fora da diagonal principal:
a12 = a21, a13 = a31, a23 = a32
Escrevendo cada uma:
a12=0, a21=cimplies 0=cimplies c=0,
a13=2, a31=2(já satisfeito), á
a23=d, a32=-3implies d=-3

Passo 4

Portanto, os valores que tornam A simétrica são
c = 0 e d = -3

Resposta

c=0,;d=-3

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