No espaço vetorial V=R^3, os vetores v1=(2,-1,3), v2=(-1,0,-2) e v3=(2,-3,1) formam um conjunto LD ou LI?

Passo 1

O enunciado pergunta se os vetores vec v1=(2,-1,3), vec v2=(-1,0,-2) e vec v3=(2,-3,1) em V=R^3 formam um conjunto linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). O conteúdo aqui é independência linear e usaremos o critério do determinante para três vetores em R^3.

Passo 2

Lembrando o conceito: três vetores em R^3 são LI se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial; equivalently, se a matriz formada por esses vetores como colunas tem determinante diferente de zero. Se o determinante for zero, há uma combinação não trivial e eles são LD.

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são vec v1,vec v2,vec v3:
M = 2 & -1 & 2 -1 & 0 & -3 3 & -2 & 1
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det M = 20 & -3-2 & 1 -(-1)-1 & -33 & 1 + 2-1 & 03 & -2
Agora os menores:
0 & -3-2 & 1 = 0cdot1 - (-3)cdot(-2) = -6,
-1 & -33 & 1 = (-1)cdot1 - (-3)cdot3 = -1 -(-9) = 8,
-1 & 03 & -2 = (-1)cdot(-2) - 0cdot3 = 2
Substituindo:
det M = 2cdot(-6) + 1cdot8 + 2cdot2 = -12 + 8 + 4 = 0

Passo 4

Como det M = 0, existe combinação não trivial que leva ao vetor nulo, logo o conjunto vec v1,vec v2,vec v3 é linearmente dependente.

Resposta

Os vetores são LD (linearmente dependentes).

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