Considere um bastão sólido de formato cilíndrico cujas extremidades são mantidas a temperaturas constantes, mas diferentes, enquanto a superficie lateral é perfeitamente isolada. Não há geração de calor e consideramos condutividade térmica constante. Podemos afirmar que a temperatura ao longo do eixo do bastão varia linearmente durante a condução de calor permanente? Por quê?
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Um bastão sólido cilíndrico de comprimento
e seção transversal circular de área . - As duas extremidades (em
e ) são mantidas em temperaturas diferentes e constantes: e . - A superfície lateral é perfeitamente isolada (ou seja, não há troca de calor através da superfície lateral).
- Não há geração interna de calor no corpo.
- A condutividade térmica é constante e igual a
.
O que o enunciado pergunta: - Podemos afirmar que a temperatura ao longo do eixo do bastão varia linearmente em regime estacionário (condução permanente)? Justifique o porquê.
Passo 2
Raciocínio físico-intuitivo (ideia geral antes das contas):
- Em regime estacionário não há variação temporal de temperatura: a distribuição de temperatura é fixa no tempo.
- Lateral perfeitamente isolada + condições nas extremidades independentes de ângulo e raio implicam que não existe fluxo radial nem variação angular; a temperatura só pode variar ao longo do eixo
. - Em regime estacionário, sem geração, a energia que entra por uma seção deve sair pela seção seguinte; isto significa que o fluxo de calor ao longo do eixo é constante ao longo do bastão.
- Se o fluxo de calor axial é constante e a condutividade
é constante, a derivada espacial da temperatura (o gradiente) também é constante, logo a temperatura varia linearmente.
Agora vamos transformar essa ideia em contas formais.
Passo 3
Equação do balanço de energia numa fatia do bastão (método de balanço de energia):
- Considere uma fatia do bastão entre
e . Em regime estacionário, energia entrando pela face em menos energia saindo pela face em mais geração interna iguala zero. - Não há geração interna, portanto
- Dividindo por
e tomando o limite dá
ou seja,
é constante ao longo de
.
Passo 4
Relacionando o fluxo de calor com o gradiente de temperatura (Lei de Fourier):
- A taxa de calor que atravessa uma seção é dada por Fourier:
onde
é potência (W),
é condutividade térmica,
é a área da seção transversal e
é a temperatura ao longo do eixo.
- Como
é constante (do passo anterior) e e são constantes, segue que
- Esta é a equação diferencial que governa a temperatura axial em regime estacionário sob as hipóteses dadas.
Passo 5
Resolução da equação diferencial e aplicação das condições de contorno:
- Integrando
duas vezes obtemos
onde
e
são constantes de integração.
- Usando as condições de contorno
e :
- Logo
e a solução é
Passo 6
Interpretação física e consequência útil:
- A solução mostra que a temperatura varia linearmente entre as extremidades; o gradiente
é constante e igual a . - A taxa de calor (constante ao longo do bastão) vale
- Observação sobre hipóteses: a linearidade depende das hipóteses (regime estacionário, lateral perfeitamente isolada,
constante e ausência de geração interna). Se alguma dessas hipóteses falhar (por exemplo, superfície lateral com convecção, variável ou geração interna), a temperatura em geral não será linear.
Resposta
Sim.