Considere um bastão sólido de formato cilíndrico cujas extremidades são mantidas a temperaturas constantes, mas diferentes, enquanto a superficie lateral é perfeitamente isolada. Não há geração de calor e consideramos condutividade térmica constante. Podemos afirmar que a temperatura ao longo do eixo do bastão varia linearmente durante a condução de calor permanente? Por quê?

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Um bastão sólido cilíndrico de comprimento \,L\, e seção transversal circular de área \,A=\pi r^2.
  • As duas extremidades (em x=0 e x=L) são mantidas em temperaturas diferentes e constantes: T(0)=T_a e T(L)=T_b.
  • A superfície lateral é perfeitamente isolada (ou seja, não há troca de calor através da superfície lateral).
  • Não há geração interna de calor no corpo.
  • A condutividade térmica é constante e igual a k.
    O que o enunciado pergunta:
  • Podemos afirmar que a temperatura ao longo do eixo do bastão varia linearmente em regime estacionário (condução permanente)? Justifique o porquê.

Passo 2

Raciocínio físico-intuitivo (ideia geral antes das contas):
  • Em regime estacionário não há variação temporal de temperatura: a distribuição de temperatura é fixa no tempo.
  • Lateral perfeitamente isolada + condições nas extremidades independentes de ângulo e raio implicam que não existe fluxo radial nem variação angular; a temperatura só pode variar ao longo do eixo x.
  • Em regime estacionário, sem geração, a energia que entra por uma seção deve sair pela seção seguinte; isto significa que o fluxo de calor ao longo do eixo é constante ao longo do bastão.
  • Se o fluxo de calor axial é constante e a condutividade k é constante, a derivada espacial da temperatura (o gradiente) também é constante, logo a temperatura varia linearmente.
    Agora vamos transformar essa ideia em contas formais.

Passo 3

Equação do balanço de energia numa fatia do bastão (método de balanço de energia):
  • Considere uma fatia do bastão entre x e x+\Delta x. Em regime estacionário, energia entrando pela face em x menos energia saindo pela face em x+\Delta x mais geração interna iguala zero.
  • Não há geração interna, portanto
\dot Q_x - \dot Q_{x+\Delta x} = 0.
  • Dividindo por \Delta x e tomando o limite \Delta x\to0
\frac{d\dot Q_x}{dx}=0,
ou seja, \dot Q_x é constante ao longo de x.

Passo 4

Relacionando o fluxo de calor com o gradiente de temperatura (Lei de Fourier):
  • A taxa de calor que atravessa uma seção é dada por Fourier:
\dot Q_x = -k A \frac{dT}{dx},
onde \dot Q_x é potência (W), k é condutividade térmica, A é a área da seção transversal e T(x) é a temperatura ao longo do eixo.
  • Como \dot Q_x é constante (do passo anterior) e k e A são constantes, segue que
\frac{d}{dx}\!\left(-kA\frac{dT}{dx}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2T}{dx^2}=0.
  • Esta é a equação diferencial que governa a temperatura axial em regime estacionário sob as hipóteses dadas.

Passo 5

Resolução da equação diferencial e aplicação das condições de contorno:
  • Integrando \dfrac{d^2T}{dx^2}=0 duas vezes obtemos
\frac{dT}{dx}=C_1, \qquad T(x)=C_1 x + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração.
  • Usando as condições de contorno T(0)=T_a e T(L)=T_b:
T(0)=C_2=T_a, \qquad T(L)=C_1 L + C_2 = T_b.
  • Logo
C_1=\frac{T_b-T_a}{L}, \qquad C_2=T_a,
e a solução é
T(x)=T_a + \frac{T_b-T_a}{L}\,x.

Passo 6

Interpretação física e consequência útil:
  • A solução mostra que a temperatura varia linearmente entre as extremidades; o gradiente \dfrac{dT}{dx} é constante e igual a \dfrac{T_b-T_a}{L}.
  • A taxa de calor (constante ao longo do bastão) vale
\dot Q = -kA\frac{T_b-T_a}{L}.
  • Observação sobre hipóteses: a linearidade depende das hipóteses (regime estacionário, lateral perfeitamente isolada, k constante e ausência de geração interna). Se alguma dessas hipóteses falhar (por exemplo, superfície lateral com convecção, k variável ou geração interna), a temperatura em geral não será linear.

Resposta

Sim. \;T(x)=T_a+\dfrac{T_b-T_a}{L}\,x.

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