O núcleo de um reator de nuclear é feito de elementos de combustível cilíndricas, cada uma composta por uma haste de urânio de raio R e um revestimento de aço inoxidável de espessura desprezível. O reator tem a temperatura uniforme inicialmente T_{\infty}; em seguida, energia interna passa a ser gerada subitamente na gaste como urânio na seguinte taxa volumétrica:
\frac{e_{g}}{e_{g, 0}}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}
Na qual e_{g, 0} é a geração de energia interna na linha central. A temperatura do líquido de arrefecimento é mantida constante em T_{\infty}. O coeficiente de transferência de calor é muito grande. Formule o problema e escreva as hipóteses adotadas em sua formulação, bem como as condições de contorno adotadas.

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (colocados de forma bem explícita):
  • Geometria: um elemento combustível cilíndrico de raio R. O revestimento (cladding) de aço inoxidável tem espessura desprezível (ou seja, pode ser tratado como sem espessura).
  • Estado inicial: a temperatura do reator (do combustível) é uniformemente igual a T_{\infty} antes da geração começar.
  • Geração volumétrica de potência, dependente do raio r, iniciada subitamente no tempo t=0:
\frac{e_{g}(r)}{e_{g,0}}=1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2},
onde e_{g,0} é a geração volumétrica no centro ( r=0). Portanto
e_{g}(r)=e_{g,0}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right).
  • O líquido de arrefecimento tem temperatura mantida constante e igual a T_{\infty}.
  • O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície é “muito grande” (isto será tratado formalmente).
  • O problema pede que se formule (matematicamente) o problema térmico e que se explicitem as hipóteses e condições de contorno adotadas.

Passo 2

Hipóteses físicas e de modelagem (explicadas uma a uma, para usar em prova):
  1. Simetria axial e independente de z: o cilindro é longo o bastante ou desprezam-se efeitos de extremidades, de modo que a temperatura depende apenas do raio r e do tempo t: T=T(r,t). Isso reduz o problema a uma equação unidimensional em coordenada radial.
  2. Propriedades térmicas constantes: condutividade térmica k, densidade \rho e capacidade térmica c_p do combustível são constantes (independentes de T). Essa hipótese é comum para simplificar; se não fosse válida, o PDE ficaria com coeficientes dependentes de T.
  3. Geração volumétrica conhecida e apenas no combustível: e_g(r) dada acima e independente do tempo (após o início súbito ela permanece com essa distribuição espacial).
  4. Revestimento com espessura desprezível: a resistência térmica do revestimento é desprezada; portanto a superfície externa do combustível está termicamente em contato direto com o fluido (ou, mais formalmente, a queda de temperatura através do revestimento é desprezível).
  5. Convecção externa linear (Lei de Newton do resfriamento): se necessário usar uma condição geral, seja um coeficiente h finito, vale -k\left.\dfrac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}=h\bigl(T(R,t)-T_{\infty}\bigr). Como o enunciado diz que h é “muito grande”, a aproximação limite será T(R,t)=T_{\infty} (condição de Dirichlet).
  6. Radiação e outras trocas de calor desprezíveis em comparação com a convecção (se não, acrescentar termo).
  7. Contato térmico perfeito entre combustível e revestimento (sem resistências de contato).
  8. Efeitos mecânicos, de deslocamento de calor por fluxo do combustível etc. são desprezados — apenas condução mais geração interna.

Passo 3

Escrever a equação de conservação de energia (PDE) em coordenadas cilíndricas (apenas variação radial), explicando cada termo:
  • A equação de condução transiente com geração volumétrica é
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+e_{g}(r).
Onde:
  • \rho é a densidade do material (kg·m^{-3}),
  • c_p é a capacidade térmica específica (J·kg{-1}·K{-1}),
  • k é a condutividade térmica (W·m{-1}·K{-1}),
  • T(r,t) é a temperatura (K),
  • e_{g}(r) é a geração volumétrica de potência (W·m^{-3}) dada no Passo 1.
    Interpretação dos termos:
  • \rho c_p \partial T/\partial t: termo transiente (acúmulo de energia por unidade de volume).
  • \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \dfrac{\partial T}{\partial r}\right): fluxo de calor por condução em coordenadas cilíndricas (divergência do fluxo radial).
  • e_g(r): termo fonte (geração interna por volume).

Passo 4

Condições iniciais e de contorno (explicadas e justificadas):
  1. Condição inicial (dada): temperatura uniforme no tempo inicial
T(r,0)=T_{\infty}\qquad\text{para }0\le r\le R.
Significado: antes da geração começar, todo o combustível está à temperatura do líquido de arrefecimento.
2. Condição de simetria axial no centro ( r=0): o gradiente radial deve ser zero para evitar singularidade e por simetria
\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0.
  1. Condição na superfície r=R:
  • Caso geral (coeficiente de convecção finito h):
-\,k\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}=h\bigl(T(R,t)-T_{\infty}\bigr).
Explicação: fluxo condutivo para fora igual ao fluxo convectivo para o fluido.
  • Limite pedido no enunciado (coeficiente muito grande, h\to\infty): a condição de contorno simplifica para temperatura fixada pela vazão:
T(R,t)=T_{\infty}\qquad\text{(condição de contorno de Dirichlet)},çã
porque um h muito grande força a temperatura da superfície a coincidir com a do líquido.

Passo 5

Colocando tudo junto: formulação completa do problema (forma final e compacta)
  • Governing PDE:
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+e_{g,0}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right), \qquad 0<r<R,\; t>0.
  • Condição inicial:
T(r,0)=T_{\infty},\qquad 0\le r\le R.
  • Condição de simetria no centro:
\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0,\qquad t>0.
  • Condição na superfície (usar a que o enunciado pede, devido a h muito grande):
T(R,t)=T_{\infty},\qquad t>0.
Aqui e_{g,0},R,\rho,c_p,k,T_{\infty} são parâmetros conhecidos (constantes).

Passo 6

Observações didáticas sobre solução (como proceder na prova; resumo dos passos método):
  1. Método prático usual: decompor T(r,t) em soma de uma solução particular independente do tempo (steady state) T_p(r) que resolve a equação de Poisson e satisfaz as BCs temporais, mais uma solução transiente homogênea u(r,t):
T(r,t)=T_p(r)+u(r,t),
onde T_p satisfaz
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(k r \frac{dT_p}{dr}\right)+e_{g}(r)=0, \qquad T_p(R)=T_{\infty},\quad T_p'(0)=0,
e u(r,t) satisfaz a equação homogênea
\rho c_p \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial u}{\partial r}\right), \qquad u(r,0)=T_{\infty}-T_p(r), \qquad u'(0,t)=0,\quad u(R,t)=0.
  1. A solução transiente u pode ser obtida por separação de variáveis e expansão em autovetores (funções de Bessel para a condição u(R,t)=0) ou por transformada de Laplace; isso é padrão em cilindros.
  2. Caso queira a solução estacionária explícita (útil para estimar o aumento máximo de temperatura), segue o cálculo direto do problema estacionário com T_p (a conta é simples e vale a pena decorar o procedimento em prova). Resumo do resultado (passo a passo curto):
  • Resolver
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(k r \frac{dT_p}{dr}\right)=-e_{g,0}\Bigl(1-\frac{r^2}{R^2}\Bigr).
Integrando duas vezes, aplicando T_p'(0)=0 e T_p(R)=T_{\infty}, obtém-se
T_p(r)=T_{\infty}+\frac{e_{g,0}}{k}\!\left(\frac{3}{16}R^{2}-\frac{1}{4}r^{2}+\frac{1}{16}\frac{r^{4}}{R^{2}}\right).
Deste modo o aumento de temperatura no centro (steady) é
\Delta T_{\text{centro}}=T_p(0)-T_{\infty}=\frac{3}{16}\frac{e_{g,0}R^{2}}{k}.
(Isto é útil para avaliar segurança: mesmo sem resolver o transiente, sabe-se o máximo estacionário possível se a condição na superfície for T(R)=T_{\infty}.)
4. Justifique na prova por que a condição T(R,t)=T_{\infty} é válida: defina o número de Biot \mathrm{Bi}=\dfrac{hR}{k}. Para \mathrm{Bi}\gg1 a resistência térmica do fluido é muito pequena comparada à resistência do sólido e a superfície fica praticamente à temperatura do fluido — daí o limite T(R,t)=T_{\infty}.

Resposta

Governing PDE:
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+e_{g,0}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right), \qquad 0<r<R,\; t>0.
Condição inicial:
T(r,0)=T_{\infty},\qquad 0\le r\le R.
Condição de simetria no centro:
\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0,\qquad t>0.
Condição na superfície (limite h\to\infty indicado pelo enunciado):
T(R,t)=T_{\infty},\qquad t>0.
Hipóteses adotadas: variação apenas radial (sem variação axial), propriedades térmicas constantes ( k,\rho,c_p), geração volumétrica fixa e_g(r)=e_{g,0}\bigl(1-(r/R)^2\bigr), revestimento de espessura desprezível, convecção externa dominante (leva a T(R,t)=T_{\infty}), radiação e outras trocas desprezíveis, contato térmico perfeito.

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