Problema 2
b) Calcule a nova velocidade específica e verifique se é correta a afirmação de: “uma velocidade específica constante descreve todas as condições de operação de máquinas geometricamente semelhantes com condições semelhantes de escoamento”
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a “nova velocidade específica” usando a definição dada
- Verificar se a afirmação “uma velocidade específica constante descreve todas as condições de operação de máquinas geometricamente semelhantes com condições semelhantes de escoamento” é correta.
Informações fornecidas explicitamente:
- A fórmula de
acima.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para um cálculo numérico):
- Valores numéricos de
, e originais ou novos; ou - A razão de escala geométrica entre máquinas (por ex.
); ou - Relação entre as velocidades angulares e vazões/head entre casos (por ex.
em função de , em função de , etc.).
Conclusão deste passo: não há dados numéricos suficientes no enunciado para calcular um valor numérico de uma “nova” velocidade específica. A resolução seguirá mostrando como calcular algebraicamente e como verificar a afirmação usando semelhança geométrica e similaridade de escoamento.
Passo 2
Explicando claramente o que cada variável da fórmula significa (aula rápida e prática):
-
é a velocidade angular da máquina, em . -
é a vazão volumétrica (por exemplo ). -
é a altura desenvolvida (head) pela máquina (por exemplo metros, ). -
é a velocidade específica (aqui definida com em vez de em rpm); é uma combinação adimensionalizada (ou quase adimensional dependendo de como se trata a gravidade) que serve para comparar rotores de forma e funcionamento semelhantes.
Por que usamos
? Porque combina rotação, vazão e altura num único número que tende a ser igual para máquinas geometricamente semelhantes que trabalham em condições correspondentes.
Passo 3
Conceitos de similaridade dinâmica que vamos usar (aula conceitual, com fórmulas):
- Para máquinas geometricamente semelhantes, as condições de escoamento correspondentes são descritas por coeficientes adimensionais. Dois coeficientes úteis são:
- coeficiente de vazão (flow coefficient)
, definido por onde é uma dimensão característica do rotor (por ex. diâmetro). - coeficiente de carga (head coefficient)
, definido por onde é a aceleração da gravidade.
- coeficiente de vazão (flow coefficient)
Interpretação rápida:
- Manter
constante significa que a vazão escala com . - Manter
constante significa que a carga escala com .
Para escoamentos geometricamente semelhantes e dinamicamente semelhantes, quer-se que os mesmos coeficientes adimensionais (incluindo Reynolds, cavitação etc., quando relevantes) sejam iguais entre máquinas.
Passo 4
Expressar
e
em termos de
,
,
,
e
(isto mostra como escalam):
- Da definição de
, - Da definição de
,
Essas fórmulas mostram explicitamente como
e
dependem de
e
quando
e
são mantidos constantes.
Passo 5
Calcular a velocidade específica
em termos de
e
(substituição e simplificação algébrica). Isto nos dá a forma que revela se
depende de escala geométrica ou não.
Partindo de
substitui-se
e
. Primeiro calcule
e
:
Agora substitui em
:
Passo 6
Simplificação completa (mostrando cancelamentos passo a passo):
- No numerador há o fator
. - No denominador há
, logo os fatores em cancelam. - Há um fator
no numerador e no denominador que também cancelam.
Após cancelamentos obtemos:
Esta expressão é notável:
depende apenas de
,
e
; não depende de
nem de
. Em particular, para máquinas geometricamente semelhantes operando em pontos com os mesmos coeficientes adimensionais
e
, o valor de
é o mesmo independentemente da escala geométrica e da rotação absoluta.
Passo 7
Interpretação física e resposta à afirmação pedida:
- O que acabamos de demonstrar diz que, se duas máquinas são geometricamente semelhantes e operam em condições correspondentes de escoamento tais que os coeficientes adimensionais relevantes (aqui
e ) são iguais, então ambas terão exatamente o mesmo valor de (conforme a definição dada). - Portanto, uma velocidade específica constante caracteriza uma família de pontos de operação dinamicamente semelhantes para máquinas geometricamente semelhantes: ela “descreve” esses pontos correspondentes.
No entanto essa afirmação precisa de ressalvas práticas:
- A igualdade de
garante similaridade quando as hipóteses de similaridade são satisfeitas (mesmos , e também outras grandezas adimensionais relevantes, como número de Reynolds, cavitação, efeitos de compressibilidade, rugosidade relativa, etc.). - Na prática, forças viscosas (Reynolds), cavitação e outros efeitos dependentes de escala podem fazer com que dois rotores geometricamente semelhantes não tenham comportamento idêntico só por terem o mesmo
. Assim, a afirmação “descreve todas as condições de operação” é forte demais: descreve as condições correspondentes de escoamento sob as hipóteses de similaridade (principalmente escoamento turbulento regime onde efeitos viscosos são similares ou desprezíveis e sem cavitação significativa). Fora dessas hipóteses, manter constante não garante igualdade das performances reais.
Passo 8
Procedimento prático para calcular uma “nova”
caso sejam fornecidos dados numéricos:
- Se forem dados
, e numéricos, basta calcular diretamente - Se souber a escala geométrica
e desejar o para o ponto dinamicamente correspondente (mesmos e ), então, por simetria, o valor obtido será o mesmo: , conforme a expressão reduzida - Se faltar algum dado numérico, não é possível obter um número; porém pode-se verificar a invariância algébrica como fizemos.
Resposta
Não é possível calcular numericamente a nova velocidade específica porque o enunciado não fornece valores numéricos nem relação de escala (
ou
).\nA afirmação é correta desde que se entenda que
constante identifica pontos dinamicamente semelhantes para máquinas geometricamente semelhantes (mesmos coeficientes adimensionais
e
); porém, na prática, a afirmação é válida somente sob as hipóteses de similaridade (efeito Reynolds, cavitação, compressibilidade e rugosidade relativa desprezáveis ou similares).