Problema 2

b) Calcule a nova velocidade específica e verifique se é correta a afirmação de: “uma velocidade específica constante descreve todas as condições de operação de máquinas geometricamente semelhantes com condições semelhantes de escoamento”
N_{S}=\frac{\omega Q^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{3}{4}}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a “nova velocidade específica” usando a definição dada N_{S}=\frac{\omega Q^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{3}{4}}}
  • Verificar se a afirmação “uma velocidade específica constante descreve todas as condições de operação de máquinas geometricamente semelhantes com condições semelhantes de escoamento” é correta.
Informações fornecidas explicitamente:
  • A fórmula de N_{S} acima.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para um cálculo numérico):
  • Valores numéricos de \omega, Q e H originais ou novos; ou
  • A razão de escala geométrica entre máquinas (por ex. D'\!/\!D); ou
  • Relação entre as velocidades angulares e vazões/head entre casos (por ex. \omega' em função de \omega, Q' em função de Q, etc.).
Conclusão deste passo: não há dados numéricos suficientes no enunciado para calcular um valor numérico de uma “nova” velocidade específica. A resolução seguirá mostrando como calcular algebraicamente e como verificar a afirmação usando semelhança geométrica e similaridade de escoamento.

Passo 2

Explicando claramente o que cada variável da fórmula significa (aula rápida e prática):
  • \omega é a velocidade angular da máquina, em \mathrm{rad\\ s^{-1}}.
  • Q é a vazão volumétrica (por exemplo \mathrm{m^{3}\\ s^{-1}}).
  • H é a altura desenvolvida (head) pela máquina (por exemplo metros, \mathrm{m}).
  • N_{S} é a velocidade específica (aqui definida com \omega em vez de N em rpm); é uma combinação adimensionalizada (ou quase adimensional dependendo de como se trata a gravidade) que serve para comparar rotores de forma e funcionamento semelhantes.
Por que usamos N_{S}? Porque combina rotação, vazão e altura num único número que tende a ser igual para máquinas geometricamente semelhantes que trabalham em condições correspondentes.

Passo 3

Conceitos de similaridade dinâmica que vamos usar (aula conceitual, com fórmulas):
  • Para máquinas geometricamente semelhantes, as condições de escoamento correspondentes são descritas por coeficientes adimensionais. Dois coeficientes úteis são:
    • coeficiente de vazão (flow coefficient) \varphi, definido por \varphi=\frac{Q}{\omega D^{3}},onde D é uma dimensão característica do rotor (por ex. diâmetro).
    • coeficiente de carga (head coefficient) \psi, definido por \psi=\frac{gH}{\omega^{2}D^{2}},onde g é a aceleração da gravidade.
Interpretação rápida:
  • Manter \varphi constante significa que a vazão escala com \omega D^{3}.
  • Manter \psi constante significa que a carga H escala com \omega^{2}D^{2}/g.
Para escoamentos geometricamente semelhantes e dinamicamente semelhantes, quer-se que os mesmos coeficientes adimensionais (incluindo Reynolds, cavitação etc., quando relevantes) sejam iguais entre máquinas.

Passo 4

Expressar Q e H em termos de \varphi, \psi, \omega, D e g (isto mostra como escalam):
  • Da definição de \varphi, Q=\varphi\,\omega\,D^{3}.
  • Da definição de \psi, H=\frac{\psi\,\omega^{2}D^{2}}{g}.
Essas fórmulas mostram explicitamente como Q e H dependem de \omega e D quando \varphi e \psi são mantidos constantes.

Passo 5

Calcular a velocidade específica N_{S} em termos de \varphi e \psi (substituição e simplificação algébrica). Isto nos dá a forma que revela se N_{S} depende de escala geométrica ou não.
Partindo de
N_{S}=\frac{\omega Q^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{3}{4}}},
substitui-se Q=\varphi\,\omega\,D^{3} e H=\dfrac{\psi\,\omega^{2}D^{2}}{g}. Primeiro calcule Q^{1/2} e H^{3/4}:
Q^{\frac{1}{2}}=(\varphi\,\omega\,D^{3})^{\frac{1}{2}}=\varphi^{\frac{1}{2}}\omega^{\frac{1}{2}}D^{\frac{3}{2}},
H^{\frac{3}{4}}=\left(\frac{\psi\,\omega^{2}D^{2}}{g}\right)^{\frac{3}{4}}=\psi^{\frac{3}{4}}\omega^{\frac{3}{2}}D^{\frac{3}{2}}g^{-\frac{3}{4}}.
Agora substitui em N_{S}:
N_{S}=\frac{\omega\;\bigl(\varphi^{\frac{1}{2}}\omega^{\frac{1}{2}}D^{\frac{3}{2}}\bigr)} {\psi^{\frac{3}{4}}\omega^{\frac{3}{2}}D^{\frac{3}{2}}g^{-\frac{3}{4}}}.

Passo 6

Simplificação completa (mostrando cancelamentos passo a passo):
  • No numerador há o fator \omega\cdot\omega^{\frac{1}{2}}=\omega^{\frac{3}{2}}.
  • No denominador há \omega^{\frac{3}{2}}, logo os fatores em \omega cancelam.
  • Há um fator D^{\frac{3}{2}} no numerador e no denominador que também cancelam.
Após cancelamentos obtemos:
N_{S}=\frac{\varphi^{\frac{1}{2}}}{\psi^{\frac{3}{4}}} \, g^{\frac{3}{4}}.
Esta expressão é notável: N_{S} depende apenas de \varphi, \psi e g; não depende de \omega nem de D. Em particular, para máquinas geometricamente semelhantes operando em pontos com os mesmos coeficientes adimensionais \varphi e \psi, o valor de N_{S} é o mesmo independentemente da escala geométrica e da rotação absoluta.

Passo 7

Interpretação física e resposta à afirmação pedida:
  • O que acabamos de demonstrar diz que, se duas máquinas são geometricamente semelhantes e operam em condições correspondentes de escoamento tais que os coeficientes adimensionais relevantes (aqui \varphi e \psi) são iguais, então ambas terão exatamente o mesmo valor de N_{S} (conforme a definição dada).
  • Portanto, uma velocidade específica constante caracteriza uma família de pontos de operação dinamicamente semelhantes para máquinas geometricamente semelhantes: ela “descreve” esses pontos correspondentes.
No entanto essa afirmação precisa de ressalvas práticas:
  • A igualdade de N_{S} garante similaridade quando as hipóteses de similaridade são satisfeitas (mesmos \varphi, \psi e também outras grandezas adimensionais relevantes, como número de Reynolds, cavitação, efeitos de compressibilidade, rugosidade relativa, etc.).
  • Na prática, forças viscosas (Reynolds), cavitação e outros efeitos dependentes de escala podem fazer com que dois rotores geometricamente semelhantes não tenham comportamento idêntico só por terem o mesmo N_{S}. Assim, a afirmação “descreve todas as condições de operação” é forte demais: N_{S} descreve as condições correspondentes de escoamento sob as hipóteses de similaridade (principalmente escoamento turbulento regime onde efeitos viscosos são similares ou desprezíveis e sem cavitação significativa). Fora dessas hipóteses, manter N_{S} constante não garante igualdade das performances reais.

Passo 8

Procedimento prático para calcular uma “nova” N_{S} caso sejam fornecidos dados numéricos:
  • Se forem dados \omega', Q' e H' numéricos, basta calcular diretamente N_{S}'=\frac{\omega' (Q')^{1/2}}{(H')^{3/4}}.
  • Se souber a escala geométrica D'\!/\!D e desejar o N_{S}' para o ponto dinamicamente correspondente (mesmos \varphi e \psi), então, por simetria, o valor obtido será o mesmo: N_{S}'=N_{S}, conforme a expressão reduzida N_{S}=\varphi^{\frac{1}{2}}\psi^{-\frac{3}{4}}g^{\frac{3}{4}}.
  • Se faltar algum dado numérico, não é possível obter um número; porém pode-se verificar a invariância algébrica como fizemos.

Resposta

Não é possível calcular numericamente a nova velocidade específica porque o enunciado não fornece valores numéricos nem relação de escala ( \omega',Q',H' ou D'/D).\nA afirmação é correta desde que se entenda que N_{S} constante identifica pontos dinamicamente semelhantes para máquinas geometricamente semelhantes (mesmos coeficientes adimensionais \varphi e \psi); porém, na prática, a afirmação é válida somente sob as hipóteses de similaridade (efeito Reynolds, cavitação, compressibilidade e rugosidade relativa desprezáveis ou similares).

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