Utilize o Teorema dos \Pi para obter os grupos adimensionais que descrevem o desempenho de uma bomba centrífuga típica. Para isso vamos considerar que o objetivo da análise é estudar o comportamento de duas variáveis fundamentais: a altura de carga desenvolvida h, que tem dimensões de energia por unidade de massa, e a potência de entrada requerida \mathcal{P}, que assim como a eficiência \eta são função (ou dependem) da vazão volumétrica Q , da velocidade de rotação \omega, do diâmetro do rotor D, e das propriedades do fluido massa específica \rho e viscosidade dinâmica \mu.
b) Identifique o Coeficiente de Rendimento ou Eficiência da bomba sabendo que este adimensional é uma combinação dos Coeficiente de vazão, Coeficiente manométrico e Coeficiente de potência:
\eta=\frac{C_{Q} C_{h}}{C_{\mathcal{P}}}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e escrever as dimensões de cada grandeza (pegando exatamente as variáveis indicadas).
Variáveis fornecidas e suas dimensões:
altura de carga h (energia por unidade de massa): \,[h]=\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-2}.
potência de entrada \mathcal{P}: \,[\mathcal{P}]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-3}.
O objetivo: usar o Teorema dos \Pi (Buckingham) para obter os grupos adimensionais que descrevem o desempenho da bomba (ou seja, formar os \Pi-grupos a partir das variáveis acima). Em seguida identificar o coeficiente de rendimento \eta como a combinação dada:
\eta=\frac{C_{Q} C_{h}}{C_{\mathcal{P}}}.
Passo 2
Breve explicação do Teorema dos \Pi (versão prática e intuitiva).
Se uma relação física envolve n variáveis independentes e essas variáveis envolvem k dimensões básicas (aqui k=3: \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T}), então é possível reescrever a relação em termos de n-k grupos adimensionais \Pi_1,\dots,\Pi_{n-k}.
Para construir os \Pi-grupos escolhe-se um conjunto de k variáveis repetidas (repeating variables) entre as n que sejam dimensionalmente independentes; em seguida cada das demais variáveis é combinada com potências das repetidas para tornar a combinação adimensional.
Vou aplicar isso passo a passo, mostrando como determinar as potências das repetidas (resolvendo sistemas lineares simples).
Passo 3
Escolha das variáveis repetidas e justificativa.
Vou escolher como variáveis repetidas: D, \omega e \rho.
Motivação: são três variáveis com dimensões independentes: [D]=\mathrm{L}, [\omega]=\mathrm{T}^{-1}, [\rho]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}. Qualquer combinação das outras variáveis pode ser tornado adimensional usando potências de D,\omega,\rho.
Essa escolha é bastante comum para máquinas rotativas: D e \omega definem uma escala geométrica e de velocidade; \rho traz a escala de massa.
Agora vou formar um \Pi-grupo para cada uma das variáveis restantes Q,h,\mathcal{P},\mu combinando com D^{\alpha}\omega^{\beta}\rho^{\gamma} e resolvendo para \alpha,\beta,\gamma de modo que a combinação fique adimensional.
Convenientemente definimos o número de Reynolds baseado em escala rotacional como o inverso desse \Pi\]:
\[\mathrm{Re}=\frac{1}{\Pi_{\mu}}=\frac{\rho\,\omega\,D^{2}}{\mu}.\]
Interpretação: \(\mathrm{Re} mede a importância da viscosidade relativa às escalas de velocidade e comprimento imposta pela rotação.]
Passo 8
Resumo dos grupos adimensionais obtidos e forma funcional geral.
Há n=7 variáveis e k=3 dimensões fundamentais, logo n-k=4 grupos adimensionais: \Pi_{Q},\Pi_{h},\Pi_{\mathcal{P}},\Pi_{\mu}.
Os grupos que obtivemos são:C_{Q}=\Pi_{Q}=\frac{Q}{\omega D^{3}}, \qquad C_{h}=\Pi_{h}=\frac{h}{\omega^{2}D^{2}}, \qquad C_{\mathcal{P}}=\Pi_{\mathcal{P}}=\frac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}}, \qquad \Pi_{\mu}=\frac{\mu}{\rho\,\omega\,D^{2}}=\mathrm{Re}^{-1}.
A relação física entre essas variáveis pode ser escrita, de acordo com Buckingham, como uma relação entre os \Pi-grupos. Por exemplo, uma forma conveniente é:F\!\left(C_{Q},\,C_{h},\,C_{\mathcal{P}},\,\mathrm{Re}^{-1}\right)=0,
dependendo das hipóteses (por exemplo se o escoamento for turbulento e a viscosidade pouco influente, pode-se aproximar que a dependência com \mathrm{Re} é fraca).
Passo 9
Identificação do coeficiente de rendimento \eta a partir dos coeficientes adimensionais.
Primeiro note a expressão física da eficiência hidráulica:
A potência útil hidráulica entregue ao fluido (energia por unidade tempo) é massa por tempo vezes energia por massa:\dot{E}_{\text{útil}}=(\text{massa por tempo})\times(\text{energia por massa}) =(\rho Q)\,h.ú
Assim a eficiência (neta, desprezando perdas secundárias) é razão entre potência útil e potência de entrada:\eta=\frac{\rho Q h}{\mathcal{P}}.
Agora mostro que a combinação adimensional dada no enunciado corresponde exatamente a essa expressão. Usando os coeficientes adimensionais definidos:
Isso confirma que o coeficiente de rendimento adimensional é exatamente a combinação indicada:
\eta=\frac{C_{Q}C_{h}}{C_{\mathcal{P}}}.
Passo 10
Interpretação prática e conclusão curta (motivação para prova).
Resumindo: os grupos relevantes para a bomba centrífuga são o coeficiente de vazão C_{Q}, o coeficiente de carga C_{h}, o coeficiente de potência C_{\mathcal{P}} e o número de Reynolds \mathrm{Re}.
Em experimentos e curvas de desempenho de bombas costuma-se apresentar C_{h} e C_{\mathcal{P}} (ou curvas não-dimensionais) em função de C_{Q} para várias condições; a eficiência \eta é obtida diretamente por \eta=C_{Q}C_{h}/C_{\mathcal{P}}.
Dica prática para prova: memorize as formas:C_{Q}=\frac{Q}{\omega D^{3}},\quad C_{h}=\frac{h}{\omega^{2}D^{2}},\quad C_{\mathcal{P}}=\frac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}},\quad \mathrm{Re}=\frac{\rho\,\omega\,D^{2}}{\mu},e verifique a identidade \eta=\rho Q h/\mathcal{P}=(C_{Q}C_{h})/C_{\mathcal{P}} em qualquer questão semelhante.