Utilize o Teorema dos \Pi para obter os grupos adimensionais que descrevem o desempenho de uma bomba centrífuga típica. Para isso vamos considerar que o objetivo da análise é estudar o comportamento de duas variáveis fundamentais: a altura de carga desenvolvida h, que tem dimensões de energia por unidade de massa, e a potência de entrada requerida \mathcal{P}, que assim como a eficiência \eta são função (ou dependem) da vazão volumétrica Q , da velocidade de rotação \omega, do diâmetro do rotor D, e das propriedades do fluido massa específica \rho e viscosidade dinâmica \mu.
b) Identifique o Coeficiente de Rendimento ou Eficiência da bomba sabendo que este adimensional é uma combinação dos Coeficiente de vazão, Coeficiente manométrico e Coeficiente de potência:
\eta=\frac{C_{Q} C_{h}}{C_{\mathcal{P}}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e escrever as dimensões de cada grandeza (pegando exatamente as variáveis indicadas).
Variáveis fornecidas e suas dimensões:
  • altura de carga h (energia por unidade de massa): \,[h]=\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-2}.
  • potência de entrada \mathcal{P}: \,[\mathcal{P}]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-3}.
  • vazão volumétrica Q: \,[Q]=\mathrm{L}^{3}\mathrm{T}^{-1}.
  • velocidade angular \omega: \,[\omega]=\mathrm{T}^{-1}.
  • diâmetro do rotor D: \,[D]=\mathrm{L}.
  • massa específica \rho: \,[\rho]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}.
  • viscosidade dinâmica \mu: \,[\mu]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1}.
  • eficiência \eta é adimensional: \,[\eta]=1.
O objetivo: usar o Teorema dos \Pi (Buckingham) para obter os grupos adimensionais que descrevem o desempenho da bomba (ou seja, formar os \Pi-grupos a partir das variáveis acima). Em seguida identificar o coeficiente de rendimento \eta como a combinação dada:
\eta=\frac{C_{Q} C_{h}}{C_{\mathcal{P}}}.

Passo 2

Breve explicação do Teorema dos \Pi (versão prática e intuitiva).
  • Se uma relação física envolve n variáveis independentes e essas variáveis envolvem k dimensões básicas (aqui k=3: \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T}), então é possível reescrever a relação em termos de n-k grupos adimensionais \Pi_1,\dots,\Pi_{n-k}.
  • Para construir os \Pi-grupos escolhe-se um conjunto de k variáveis repetidas (repeating variables) entre as n que sejam dimensionalmente independentes; em seguida cada das demais variáveis é combinada com potências das repetidas para tornar a combinação adimensional.
  • Vou aplicar isso passo a passo, mostrando como determinar as potências das repetidas (resolvendo sistemas lineares simples).

Passo 3

Escolha das variáveis repetidas e justificativa.
  • Vou escolher como variáveis repetidas: D, \omega e \rho.
    • Motivação: são três variáveis com dimensões independentes: [D]=\mathrm{L}, [\omega]=\mathrm{T}^{-1}, [\rho]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-3}. Qualquer combinação das outras variáveis pode ser tornado adimensional usando potências de D,\omega,\rho.
    • Essa escolha é bastante comum para máquinas rotativas: D e \omega definem uma escala geométrica e de velocidade; \rho traz a escala de massa.
Agora vou formar um \Pi-grupo para cada uma das variáveis restantes Q,h,\mathcal{P},\mu combinando com D^{\alpha}\omega^{\beta}\rho^{\gamma} e resolvendo para \alpha,\beta,\gamma de modo que a combinação fique adimensional.

Passo 4

Construção do [\Pi)-grupo associado à vazão Q.
Proponho
\Pi_{Q}=Q\;D^{\alpha}\omega^{\beta}\rho^{\gamma}.
Escrevo as dimensões:
[Q]=\mathrm{L}^{3}\mathrm{T}^{-1},\qquad [D^{\alpha}]=\mathrm{L}^{\alpha},\qquad [\omega^{\beta}]=\mathrm{T}^{-\beta},\qquad [\rho^{\gamma}]=\mathrm{M}^{\gamma}\mathrm{L}^{-3\gamma}.
Multiplicando: dimensão total
\mathrm{M}^{\gamma}\mathrm{L}^{\,3+\alpha-3\gamma}\mathrm{T}^{-1-\beta}.
Para ser adimensional devemos ter os expoentes nulos:
\begin{cases} \gamma=0 & (\text{expoente de } \mathrm{M})\\[4pt] 3+\alpha-3\gamma=0 & (\text{expoente de } \mathrm{L})\\[4pt] -1-\beta=0 & (\text{expoente de } \mathrm{T}) \end{cases}
Com \gamma=0\] obtemos \(\alpha=-3 e \beta=-1. Assim
\Pi_{Q}=\frac{Q}{\omega D^{3}}.
Este é o coeficiente adimensional de vazão, que costuma ser chamado de coeficiente de fluxo (flow coefficient) e denotado por C_{Q} ou \varphi:
C_{Q}=\frac{Q}{\omega D^{3}}.]

Passo 5

Construção do [\Pi)-grupo associado à altura h.
Proponho
\Pi_{h}=h\;D^{\alpha}\omega^{\beta}\rho^{\gamma}.
Dimensões:
[h]=\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-2},\quad [D^{\alpha}]=\mathrm{L}^{\alpha},\quad [\omega^{\beta}]=\mathrm{T}^{-\beta},\quad [\rho^{\gamma}]=\mathrm{M}^{\gamma}\mathrm{L}^{-3\gamma}.
Produto das dimensões:
\mathrm{M}^{\gamma}\mathrm{L}^{\,2+\alpha-3\gamma}\mathrm{T}^{-2-\beta}.
Zerando expoentes:
\begin{cases} \gamma=0\\[4pt] 2+\alpha-3\gamma=0\\[4pt] -2-\beta=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma=0,\\ \alpha=-2,\\ \beta=-2.
Logo
\Pi_{h}=\frac{h}{\omega^{2}D^{2}}.
Este é o coeficiente adimensional de carga (head coefficient), denotado por C_{h}\] ou \(\psi:
C_{h}=\frac{h}{\omega^{2}D^{2}}.]

Passo 6

Construção do [\Pi)-grupo associado à potência \mathcal{P}.
Proponho
\Pi_{\mathcal{P}}=\mathcal{P}\;D^{\alpha}\omega^{\beta}\rho^{\gamma}.
Dimensões:
[\mathcal{P}]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-3},\quad [D^{\alpha}]=\mathrm{L}^{\alpha},\quad [\omega^{\beta}]=\mathrm{T}^{-\beta},\quad [\rho^{\gamma}]=\mathrm{M}^{\gamma}\mathrm{L}^{-3\gamma}.
Produto:
\mathrm{M}^{\,1+\gamma}\mathrm{L}^{\,2+\alpha-3\gamma}\mathrm{T}^{-3-\beta}.
Zerando expoentes:
\begin{cases} 1+\gamma=0\\[4pt] 2+\alpha-3\gamma=0\\[4pt] -3-\beta=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma=-1,\\ \text{então }2+\alpha-3(-1)=0\Rightarrow \alpha=-5,\\ \beta=-3.ã
Assim
\Pi_{\mathcal{P}}=\frac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}}.
Este é o coeficiente adimensional de potência (power coefficient), denotado por C_{\mathcal{P}}\] ou às vezes por \(\lambda:
C_{\mathcal{P}}=\frac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}}.]

Passo 7

Construção do [\Pi)-grupo associado à viscosidade \mu (forma que dará o número de Reynolds).
Proponho
\Pi_{\mu}=\mu\;D^{\alpha}\omega^{\beta}\rho^{\gamma}.
Dimensões:
[\mu]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{-1}\mathrm{T}^{-1},\quad [D^{\alpha}]=\mathrm{L}^{\alpha},\quad [\omega^{\beta}]=\mathrm{T}^{-\beta},\quad [\rho^{\gamma}]=\mathrm{M}^{\gamma}\mathrm{L}^{-3\gamma}.
Produto:
\mathrm{M}^{\,1+\gamma}\mathrm{L}^{\,-1+\alpha-3\gamma}\mathrm{T}^{-1-\beta}.
Zerando expoentes:
\begin{cases} 1+\gamma=0\\[4pt] -1+\alpha-3\gamma=0\\[4pt] -1-\beta=0 \end{cases} \Rightarrow \gamma=-1,\\ \alpha=-2,\\ \beta=-1.
Logo
\Pi_{\mu}=\frac{\mu}{\rho\,\omega\,D^{2}}.
Convenientemente definimos o número de Reynolds baseado em escala rotacional como o inverso desse \Pi\]: \[\mathrm{Re}=\frac{1}{\Pi_{\mu}}=\frac{\rho\,\omega\,D^{2}}{\mu}.\] Interpretação: \(\mathrm{Re} mede a importância da viscosidade relativa às escalas de velocidade e comprimento imposta pela rotação.]

Passo 8

Resumo dos grupos adimensionais obtidos e forma funcional geral.
  • n=7 variáveis e k=3 dimensões fundamentais, logo n-k=4 grupos adimensionais: \Pi_{Q},\Pi_{h},\Pi_{\mathcal{P}},\Pi_{\mu}.
  • Os grupos que obtivemos são: C_{Q}=\Pi_{Q}=\frac{Q}{\omega D^{3}}, \qquad C_{h}=\Pi_{h}=\frac{h}{\omega^{2}D^{2}}, \qquad C_{\mathcal{P}}=\Pi_{\mathcal{P}}=\frac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}}, \qquad \Pi_{\mu}=\frac{\mu}{\rho\,\omega\,D^{2}}=\mathrm{Re}^{-1}.
  • A relação física entre essas variáveis pode ser escrita, de acordo com Buckingham, como uma relação entre os \Pi-grupos. Por exemplo, uma forma conveniente é: F\!\left(C_{Q},\,C_{h},\,C_{\mathcal{P}},\,\mathrm{Re}^{-1}\right)=0,
ou isolando um grupo,
C_{h}=G\!\left(C_{Q},\,\mathrm{Re}\right),\qquad C_{\mathcal{P}}=H\!\left(C_{Q},\,\mathrm{Re}\right),
dependendo das hipóteses (por exemplo se o escoamento for turbulento e a viscosidade pouco influente, pode-se aproximar que a dependência com \mathrm{Re} é fraca).

Passo 9

Identificação do coeficiente de rendimento \eta a partir dos coeficientes adimensionais.
Primeiro note a expressão física da eficiência hidráulica:
  • A potência útil hidráulica entregue ao fluido (energia por unidade tempo) é massa por tempo vezes energia por massa: \dot{E}_{\text{útil}}=(\text{massa por tempo})\times(\text{energia por massa}) =(\rho Q)\,h.ú
  • Assim a eficiência (neta, desprezando perdas secundárias) é razão entre potência útil e potência de entrada: \eta=\frac{\rho Q h}{\mathcal{P}}.
Agora mostro que a combinação adimensional dada no enunciado corresponde exatamente a essa expressão. Usando os coeficientes adimensionais definidos:
C_{Q}=\frac{Q}{\omega D^{3}},\qquad C_{h}=\frac{h}{\omega^{2}D^{2}},\qquad C_{\mathcal{P}}=\frac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}}.
Multiplicando C_{Q}C_{h} e dividindo por C_{\mathcal{P}}:
\frac{C_{Q}C_{h}}{C_{\mathcal{P}}} =\frac{\dfrac{Q}{\omega D^{3}}\cdot\dfrac{h}{\omega^{2}D^{2}}}{\dfrac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}}} =\frac{Q h}{\omega^{3}D^{5}}\cdot\frac{\rho\,\omega^{3}D^{5}}{\mathcal{P}} =\frac{\rho Q h}{\mathcal{P}}.
Logo
\frac{C_{Q}C_{h}}{C_{\mathcal{P}}}=\eta.
Isso confirma que o coeficiente de rendimento adimensional é exatamente a combinação indicada:
\eta=\frac{C_{Q}C_{h}}{C_{\mathcal{P}}}.

Passo 10

Interpretação prática e conclusão curta (motivação para prova).
  • Resumindo: os grupos relevantes para a bomba centrífuga são o coeficiente de vazão C_{Q}, o coeficiente de carga C_{h}, o coeficiente de potência C_{\mathcal{P}} e o número de Reynolds \mathrm{Re}.
  • Em experimentos e curvas de desempenho de bombas costuma-se apresentar C_{h} e C_{\mathcal{P}} (ou curvas não-dimensionais) em função de C_{Q} para várias condições; a eficiência \eta é obtida diretamente por \eta=C_{Q}C_{h}/C_{\mathcal{P}}.
  • Dica prática para prova: memorize as formas: C_{Q}=\frac{Q}{\omega D^{3}},\quad C_{h}=\frac{h}{\omega^{2}D^{2}},\quad C_{\mathcal{P}}=\frac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}},\quad \mathrm{Re}=\frac{\rho\,\omega\,D^{2}}{\mu},e verifique a identidade \eta=\rho Q h/\mathcal{P}=(C_{Q}C_{h})/C_{\mathcal{P}} em qualquer questão semelhante.

Resposta

C_{Q}=\dfrac{Q}{\omega D^{3}}
C_{h}=\dfrac{h}{\omega^{2}D^{2}}
C_{\mathcal{P}}=\dfrac{\mathcal{P}}{\rho\,\omega^{3}D^{5}}
\mathrm{Re}=\dfrac{\rho\,\omega\,D^{2}}{\mu}
\displaystyle \eta=\frac{C_{Q}C_{h}}{C_{\mathcal{P}}}=\frac{\rho Q h}{\mathcal{P}}

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