Considere
f(x)= \begin{cases}x^{2}+1, & \text { se } x<1 \\\ x+1, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
f é derivável em 1? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}+1,&\text{se }x<1,\\\ x+1,&\text{se }x\ge1, \end{cases}
e pede para verificar se f é derivável em x=1. Para isso a gente precisa checar dois pontos: continuidade em 1 e igualdade das derivadas laterais em 1.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se f é contínua em 1. Calculamos
\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+1=2,
\lim_{x\to1^+}f(x)=1+1=2 e
f(1)=1+1=2.
Como os limites lateral esquerdo, lateral direito e o valor de f(1) coincidem, concluímos que f é contínua em 1.

Passo 3

Agora calculamos a derivada pela esquerda, isto é,
f'_{-}(1) =\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1^-}\frac{(x^2+1)-2}{x-1} =\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to1^-}(x+1) =2.

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada pela direita:
f'_{+}(1) =\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{(x+1)-2}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{x-1}{x-1} =1.

Passo 5

Como f'_{-}(1)=2 e f'_{+}(1)=1 são diferentes, a derivada não existe em x=1.

Resposta

f não é derivável em x=1, pois as derivadas laterais são distintas.

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