Questão 3

Seguimos com a função:

g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}
dada por
g(x, y)=10 x^{2} y^{2}-5 x^{2}-4 y^{2}-x^{4}.
Seja
H(\bar{x}, \bar{y})=\left[\begin{array}{ll} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(\bar{x}, \bar{y}) & \frac{\partial^{2} g}{\partial y x}(\bar{x}, \bar{y}) \\\ \frac{\partial^{2} g}{\partial x y}(\bar{x}, \bar{y}) & \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}(\bar{x}, \bar{y}) \end{array}\right]
onde ( \bar{x}, \bar{y} ) é um ponto crítico da função (isto é, onde o gradiente se anula).
Podemos afirmar que:
(marque todas as respostas corretas)
Todo ponto crítico (\bar{x}, \bar{y})_{\neq(0,0)} \square
é ponto de máximo.
Há pontos críticos (\bar{x}, \bar{y})_{\neq(0,0)} que são de máximo, outros de mínimo, porém nenhum é ponto de sela.
Todo ponto crítico (\bar{x}, \bar{y})_{\neq(0,0)} é ponto de mínimo.
Todo ponto crítico (\bar{x}, \bar{y})_{\neq(0,0)} é ponto de sela.
O teste da segunda derivada não é conclusivo para o ponto (0,0).
Para todo ponto crítico (\bar{x}, \bar{y}) \neq(0,0), temos \operatorname{det}\left(\mathrm{H}^{(\bar{x}, \bar{y})}\right)> 0.
(0,0) é ponto de mínimo.
\operatorname{det}(\mathrm{H}(0,0))=0.
\operatorname{det}(H(0,0))>0.
Há pontos críticos (\bar{x}, \bar{y})_{\neq(0,0)} que são de máximo, outros de
\square mínimo e outros de sela.
(0,0) é ponto de máximo.
Para todo ponto crítico (\bar{x}, \bar{y}) \neq(0,0), temos \operatorname{det}\left(\mathrm{H}^{(\bar{x}, \bar{y})}\right)= 0 .
\operatorname{det}(H(0,0))<0. \square
O teste da segunda derivada não é conclusivo para os pontos críticos
(\bar{x}, \bar{y})_{\neq(0,0)}.
(0,0) é ponto de sela.
Para todo ponto crítico (\bar{x}, \bar{y}) \neq(0,0), temos \operatorname{det}\left(\mathrm{H}^{(\bar{x}, \bar{y})}\right)< 0 .

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)=10x^{2}y^{2}-5x^{2}-4y^{2}-x^{4}
e pede: encontre todos os pontos críticos resolvendo \nabla g=0, calcule a Hessiana
H(x,y)=\begin{pmatrix} g_{xx}(x,y) & g_{xy}(x,y)\\[6pt] g_{yx}(x,y) & g_{yy}(x,y) \end{pmatrix}
e classifique cada ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) com o teste da segunda derivada. Por fim, identifique quais das afirmações propostas são verdadeiras.]

Passo 2

Calcule as derivadas parciais:
g_{x}=20xy^{2}-10x-4x^{3}=x\bigl(20y^{2}-10-4x^{2}\bigr), \quad g_{y}=20x^{2}y-8y=y\bigl(20x^{2}-8\bigr).
Para \nabla g=0 temos quatro pontos não nulos e o ponto (0,0). Resolvem-se
x=0\implies y=0, \quad y=0\implies x=0,
ou
20x^{2}-8=0\implies x^{2}=\tfrac{2}{5}, \quad 20y^{2}-10-4x^{2}=0\implies y^{2}=\tfrac{29}{50}.
Logo os críticos são
(0,0) \quad\text{e}\quad \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}},\,\pm\sqrt{\tfrac{29}{50}}\bigr)\,.

Passo 3

Compute-se a Hessiana geral:
g_{xx}=20y^{2}-10-12x^{2}, \quad g_{xy}=40xy, \quad g_{yy}=20x^{2}-8.
Em (0,0):
H(0,0)=\begin{pmatrix}-10&0\\\ 0&-8\end{pmatrix}, \quad \det H(0,0)=80>0, \quad g_{xx}(0,0)=-10<0.
Em cada ponto não nulo x^{2}=\tfrac{2}{5}, y^{2}=\tfrac{29}{50}:
g_{yy}=20\cdot\tfrac{2}{5}-8=0, \quad g_{xx}=20\cdot\tfrac{29}{50}-10-12\cdot\tfrac{2}{5}=-3,2, \quad g_{xy}\neq0,
\det H=-\,(g_{xy})^{2}<0.

Passo 4

Classificação:
  • Em (0,0): \det H>0 e g_{xx}<0 \;\Rightarrow\;(0,0) é ponto de máximo local.
  • Nos quatro pontos não nulos: \det H<0 \;\Rightarrowsão todos pontos de sela.

Resposta

As afirmações verdadeiras são:
  • Todo ponto crítico (\bar x,\bar y)\neq(0,0) é ponto de sela.
  • Para todo ponto crítico (\bar x,\bar y)\neq(0,0) temos \det\bigl(H(\bar x,\bar y)\bigr)<0.
  • \det\bigl(H(0,0)\bigr)>0.
  • (0,0) é ponto de máximo.

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