Onde a função h(x)=\left|x^{2}-9\right| é derivável? Dê uma fórmula para h^{\prime}.
16. Derive a função.

Passo 1

O enunciado pede onde a função
h(x)=\bigl|x^{2}-9\bigr|
é derivável e qual é a fórmula de h'(x). O conteúdo que vamos usar é a definição de valor absoluto e o critério de derivabilidade em pontos onde o argumento do módulo muda de sinal, além da regra da cadeia para derivar polinômios.

Passo 2

Identificamos os pontos em que o argumento do módulo se anula:
x^{2}-9=0\;\Longrightarrow\;x=\pm3.
Assim furtamos dois intervalos:
  1. Para \lvert x\rvert>3, tem x^{2}-9\ge0 e
h(x)=x^{2}-9.
  1. Para \lvert x\rvert<3, tem x^{2}-9<0 e
h(x)=-(x^{2}-9)=9 - x^{2}.

Passo 3

Derivamos em cada região usando regra da cadeia:
  1. Se \lvert x\rvert>3,
h'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-9)=2x.
  1. Se \lvert x\rvert<3,
h'(x)=\frac{d}{dx}(9 - x^{2})=-2x.

Passo 4

Agora verificamos a derivabilidade em x=\pm3 calculando as derivadas laterais:
  1. Em x=3:
    \displaystyle h'_{-}(3)=-2\cdot3=-6 e \displaystyle h'_{+}(3)=2\cdot3=6.
    Como -6\neq6, não é derivável em x=3.
  2. Em x=-3:
    \displaystyle h'_{-}(-3)=2\cdot(-3)=-6 e \displaystyle h'_{+}(-3)=-2\cdot(-3)=6.
    Como -6\neq6, não é derivável em x=-3.

Resposta

A função h é derivável em todos os x tais que x\neq\pm3. Sua derivada é
h'(x)= \begin{cases} 2x,&\lvert x\rvert>3,\\\\ -2x,&\lvert x\rvert<3. \end{cases}

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