Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=x y^{3} _4 y x^{4}+5 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x\,y^{3}-4\,y\,x^{4}+5\,x^{3}.
O conteúdo aqui é diferenciação parcial: para \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante, e para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante.

Passo 2

Para encontrar \frac{\partial f}{\partial x}, mantemos y fixo e derivamos termo a termo em relação a x:
  • Em x\,y^{3}, y^{3} é constante, então a derivada é y^{3}.
  • Em -4\,y\,x^{4}, o coeficiente -4y é constante, e a derivada de x^{4} é 4x^{3}, logo obtemos -4y\cdot4x^{3}=-16\,y\,x^{3}.
  • Em 5\,x^{3}, a derivada de x^{3} é 3x^{2}, logo 5\cdot3x^{2}=15x^{2}.

Passo 3

Juntando os termos, ficamos com
\frac{\partial f}{\partial x} =y^{3}-16\,y\,x^{3}+15\,x^{2}.

Passo 4

Para encontrar \frac{\partial f}{\partial y}, mantemos x fixo e derivamos termo a termo em relação a y:
  • Em x\,y^{3}, o coeficiente x é constante, e a derivada de y^{3} é 3y^{2}, logo x\cdot3y^{2}=3x\,y^{2}.
  • Em -4\,y\,x^{4}, o coeficiente -4x^{4} é constante, e a derivada de y é 1, logo -4x^{4}.
  • Em 5\,x^{3}, não há y, então a derivada é 0.

Passo 5

Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =3\,x\,y^{2}-4\,x^{4}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =y^{3}-16\,y\,x^{3}+15\,x^{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3\,x\,y^{2}-4\,x^{4}.

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