Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{6} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
II. Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
III. Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dois sistemas (as colunas são vetores em \mathbb{R}^{6}):
S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0}\end{array}\right]. Este é o sistema homogêneo cujo coeficiente é a matriz com colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} e termo à direita \overrightarrow{0}.
S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3}\end{array}\right]. Este é o sistema não homogêneo que corresponde à equação vetoriala\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3},onde a,b\in\mathbb{R} são as incógnitas.
Pergunta: avaliar a veracidade das afirmativas I, II e III dadas no enunciado.
Passo 2
Lembrete bem didático sobre dependência linear e solução de sistemas:
Definição de dependência linear: o conjunto \beta é linearmente dependente (LD) se existem escalares c_{1},c_{2},c_{3}, não todos nulos, tais quec_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.Se a única solução para essa combinação é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, diz-se que \beta é linearmente independente (LI).
Relação com sistemas:
O sistema homogêneo S_{1} tem sempre a solução trivial a=b=c=0. Tem solução única (apenas a trivial) se e somente se as colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são LI. Se as colunas são LD então existe solução não trivial, logo infinitas soluções (porque o espaço solução de um homogêneo não trivial é um subespaço de dimensão ≥1).
O sistema S_{2} pergunta se \vec{v}_{3} pertence ao subespaço gerado por \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}, isto é, se \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Se sim, existe pelo menos uma solução (a,b). O número de soluções depende se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI ou LD:
Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI, então a escrita de \vec{v}_{3} como combinação linear é única (se existir), logo a solução é única.
Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LD (uma coluna é múltiplo da outra), então se \vec{v}_{3} estiver no mesmo subespaço haverá infinitas soluções (parâmetros livres); se \vec{v}_{3} não estiver no subespaço, não haverá solução.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.”
Tradução: partindo do fato de que \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são linearmente dependentes, conclui-se que a equação a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} tem infinitas soluções.
Contra-argumento geral: a dependência linear de \beta garante apenas que alguma relação linear não trivial existe entre as três colunas. Essa relação pode envolver \vec{v}_{3} (com coeficiente não nulo), caso em que \vec{v}_{3} é combinação de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} e S_{2} tem solução; ou a relação pode não envolver \vec{v}_{3} (coeficiente de \vec{v}_{3} zero), caso em que nada é garantido sobre \vec{v}_{3} pertencer ou não ao span de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}.
Dois exemplos concretos (isso mostra que a implicação “LD ⇒ infinitas soluções” falha em geral):
Exemplo onde \beta é LD e S_{2} não tem solução: escolha\vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \vec{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \vec{v}_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.Aqui \vec{v}_{1}=\vec{v}_{2}, logo \beta é LD. Mas \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}=\operatorname{span}\{(1,0,0,0,0,0)^T\} não contém \vec{v}_{3}, então a equação a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} não tem solução.
Exemplo onde \beta é LD e S_{2} tem exatamente uma solução: escolha\vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \vec{v}_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \vec{v}_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.Aqui \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, então \beta é LD. A equação a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} tem a solução única a=1,b=1 porque \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI.
Conclusão sobre I: há contraexemplos — às vezes S_{2} não tem solução, às vezes tem solução única, às vezes infinitas. Logo I é falsa.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
Se \beta é LI, então em particular \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI (porque qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI). Então \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} é um subespaço de dimensão 2.
Mas \beta ser LI implica que \vec{v}_{3} não pode ser combinação linear de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}. Em outras palavras,\vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.Portanto a equação a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} não tem solução alguma.
Exemplo simples: \vec{v}_{1}=e_{1},\\ \vec{v}_{2}=e_{2},\\ \vec{v}_{3}=e_{3} (vetores canônicos em \mathbb{R}^{6} estendidos com zeros). Esses três são LI e a e_{1}+b e_{2}=e_{3} não tem solução.
Conclusão sobre II: a afirmativa afirma existência e unicidade, mas na verdade quando \beta é LI não existe solução para S_{2}. Logo II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.”
S_{1} é o sistema homogêneo cujo espaço de soluções é o núcleo (nullspace) da matriz com colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}.
Teorema importante e direto: o sistema homogêneo tem solução única (apenas a trivial) se e somente se as colunas da matriz são linearmente independentes.
Se \beta é LD, então as colunas são dependentes, portanto o núcleo é não trivial, isto é, existem soluções não triviais. Para um homogêneo com solução não trivial, realmente existe um espaço de soluções de dimensão pelo menos 1, isto é, infinitas soluções (um subespaço com mais de um vetor).
Portanto, quando \beta é LD, S_{1} não pode ter solução única. Não existe exemplo que faça III verdadeira.
Conclusão sobre III: é falsa.
Passo 6
Resumo lógico (sem repetir a alternativa final): cada uma das afirmativas I, II e III foi examinada e foram encontrados argumentos e exemplos que mostram que todas são falsas.