A pergunta é: qual é a dimensão de S? (Fornecem várias alternativas; uma delas é a correta.)]
Passo 2
Interpretar as equações lineares e lembrar a ideia principal que vou usar.
Cada uma das três igualdades é uma equação linear homogênea nas 12 incógnitas x_{1},\dots,x_{12}.
O conjunto S é o espaço solução de um sistema linear homogêneo A x = 0, portanto S é um subespaço de \mathbb{R}^{12}.
Teorema-ferramenta: para um sistema homogêneo com n incógnitas e matriz de coeficientes de posto \operatorname{rank}(A), a dimensão do espaço solução é
\dim(S)=n-\operatorname{rank}(A).
Aqui n=12. Logo, para encontrar \dim(S) basta determinar quantas das três equações são linearmente independentes (ou seja, o posto das linhas do sistema).
Passo 3
Escrever as três equações como combinações lineares (vetores linha) para verificar dependência linear.
Reescrevendo cada equação no formato “coeficientes \cdot vetor = 0”:
Primeira: x_{10}-x_{2}=0. O vetor de coeficientes tem -1 na posição 2 e +1 na posição 10; zeros nas outras posições.
Segunda: x_{9}-x_{4}=0. O vetor de coeficientes tem -1 na posição 4 e +1 na posição 9.
Terceira: x_{9}+x_{10}-x_{4}-x_{2}=0. O vetor de coeficientes tem -1 nas posições 2 e 4, e +1 nas posições 9 e 10.
Observação direta: somando o vetor da primeira equação ao vetor da segunda obtemos exatamente o vetor da terceira. Em termos das equações:
ou seja, a terceira equação é soma das duas primeiras. Portanto as três equações não são independentes: há dependência linear entre as linhas.
Passo 4
Determinar o posto do sistema e a dimensão de S.
Como a terceira é combinação linear das duas primeiras, as duas primeiras são suficientes para gerar todas as três. Assim as equações independentes são exatamente duas (assumindo que as duas primeiras não sejam múltiplos uma da outra, o que claramente não são — elas envolvem coordenadas distintas).
Logo \operatorname{rank}(A)=2.
Aplicando a fórmula do Passo 2:
\dim(S)=12-\operatorname{rank}(A)=12-2=10.
Passo 5
Descrever a forma geral dos vetores de S para fixar a intuição (isso mostra os 10 graus de liberdade).
Das equações temos explicitamente:
x_{10}=x_{2}\quad\text{e}\quad x_{9}=x_{4},
e a terceira é redundante. Assim as coordenadas livres (parâmetros) podem ser escolhidas como
Aqui v_{2} coloca 1 em x_{2} e também em x_{10} para respeitar x_{10}=x_{2}; v_{4} coloca 1 em x_{4} e em x_{9} para respeitar x_{9}=x_{4}; os demais são vetores padrão para coordenadas livres. Esses 10 vetores são linearmente independentes e geram S, confirmando dimensão 10.
Passo 7
Recapitulação breve e incentivo.
Concluímos que das três equações originais apenas duas são independentes, restando 12-2=10 graus de liberdade. Portanto \dim(S)=10.
Vai dar certo na prova — pensa nesses tipos de questões como contar equações independentes e graus de liberdade. Força!