Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(8)=3+p(6) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas sobre subespaços vetoriais e pede que eu escolha qual alternativa entre A a H corresponde às afirmativas verdadeiras. As afirmativas são:
I. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(8)=3+p(6) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
A tarefa é determinar, com justificativa, quais dessas três afirmativas são verdadeiras.

Passo 2

Lembrete do que significa “ser um subespaço vetorial” (isso é essencial para testar as afirmativas).
  • Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades:
    1. W contém o vetor zero de V (ou seja, 0\in W).
    2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha é escalar, então \alpha u\in W.
Uma forma prática e rápida: para mostrar que um conjunto NÃO é subespaço basta verificar que falha em pelo menos uma dessas propriedades (normalmente o teste do vetor zero ou fechamento sob escala são os mais fáceis).

Passo 3

Análise da afirmativa I.
  • Afirmativa: “O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.”
  • Explicação didática: seja o sistema linear escrito como A x = b, com A matriz e b vetor. O conjunto das soluções é S=\{x\in\mathbb{R}^n \mid A x = b\}.
  • Observação importante: se b\neq 0, o conjunto S não contém o vetor zero porque A\cdot 0 = 0 \neq b. Logo, se o sistema não-homogêneo é consistente e b\neq 0, então 0\notin S e S não pode ser subespaço.
  • Forma geral conhecida: quando existe solução, o conjunto de soluções de A x = b tem a forma x_p + \mathrm{Ker}(A), onde x_p é uma solução particular e \mathrm{Ker}(A) é o subespaço das soluções de A x = 0. Isso é um subespaço deslocado (um conjunto afim), não um subespaço linear, salvo no caso especial b=0 (sistema homogêneo).
  • Conclusão para I: em geral falso. A afirmativa I é falsa (porque para um sistema não-homogêneo típico, o conjunto de soluções não contém o zero e não é fechado por multiplicação escalar).

Passo 4

Análise da afirmativa II.
  • Afirmativa: “O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(8)=3+p(6) é um subespaço vetorial.”
  • Vamos descrever um polinômio genérico de grau ≤ 2: p(x)=a x^{2}+b x+c, com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • A condição p(8)=3+p(6) é uma equação entre valores: calculemos a diferença p(8)-p(6).
p(8)-p(6)=a(8^{2}-6^{2})+b(8-6)+c(1-1).
  • Calculando os números:
8^{2}-6^{2}=64-36=28,\qquad 8-6=2,\qquad 1-1=0,
portanto
p(8)-p(6)=28a+2b.
  • A condição p(8)=3+p(6) equivale a
28a+2b=3.
  • Essa é uma equação linear não-homogênea nas coordenadas (a,b,c). Note que o coeficiente c não aparece — c é livre — mas existe um deslocamento de 3 no lado direito.
  • Teste do vetor zero: o polinômio zero tem a=b=c=0. Substituindo,
28\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0 \neq 3,
logo o polinômio zero NÃO satisfaz a condição, então o conjunto não contém o vetor zero.
  • Além disso, teste de fechamento por escala: se p satisfaz 28a+2b=3, então \alpha p tem coeficientes (\alpha a,\alpha b,\alpha c) e satisfaz
28(\alpha a)+2(\alpha b)=\alpha\cdot 3,
que só iguala 3 quando \alpha=1. Assim a multiplicação escalar não preserva a condição, exceto trivialmente com \alpha=1.
  • Conclusão para II: o conjunto NÃO é subespaço vetorial. Afirmativa II é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa III.
  • Afirmativa: “O conjunto \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.”
  • Um conjunto que contém exatamente um vetor \{v\} é subespaço somente se v for o vetor zero. Porque um subespaço deve conter 0; se o conjunto só tem um elemento, esse elemento tem de ser 0.
  • Aqui o único elemento é (1,1,1,1), que não é o vetor zero. Logo o conjunto não contém 0 e não é subespaço.
  • Outra verificação: fechamento por multiplicação escalar falha, por exemplo 2(1,1,1,1)=(2,2,2,2)\notin\{(1,1,1,1)\}.
  • Conclusão para III: falsa.

Passo 6

Reunião das conclusões:
  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Portanto todas as três afirmativas são falsas.

Resposta

(C) Todas são falsas.

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