Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
III. O conjunto
é um subespaço vetorial.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
III. O conjunto
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas sobre subespaços vetoriais e pede que eu escolha qual alternativa entre
a
corresponde às afirmativas verdadeiras. As afirmativas são:
I. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo
tais que
é um subespaço vetorial.
III. O conjunto
é um subespaço vetorial.
A tarefa é determinar, com justificativa, quais dessas três afirmativas são verdadeiras.
Passo 2
Lembrete do que significa “ser um subespaço vetorial” (isso é essencial para testar as afirmativas).
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é um subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades: -
contém o vetor zero de (ou seja, ). -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar, então .
-
Uma forma prática e rápida: para mostrar que um conjunto NÃO é subespaço basta verificar que falha em pelo menos uma dessas propriedades (normalmente o teste do vetor zero ou fechamento sob escala são os mais fáceis).
Passo 3
Análise da afirmativa I.
- Afirmativa: “O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.”
- Explicação didática: seja o sistema linear escrito como
, com matriz e vetor. O conjunto das soluções é . - Observação importante: se
, o conjunto não contém o vetor zero porque . Logo, se o sistema não-homogêneo é consistente e , então e não pode ser subespaço. - Forma geral conhecida: quando existe solução, o conjunto de soluções de
tem a forma , onde é uma solução particular e é o subespaço das soluções de . Isso é um subespaço deslocado (um conjunto afim), não um subespaço linear, salvo no caso especial (sistema homogêneo). - Conclusão para I: em geral falso. A afirmativa I é falsa (porque para um sistema não-homogêneo típico, o conjunto de soluções não contém o zero e não é fechado por multiplicação escalar).
Passo 4
Análise da afirmativa II.
- Afirmativa: “O conjunto de todos os polinômios de grau máximo
tais que é um subespaço vetorial.” - Vamos descrever um polinômio genérico de grau ≤
: , com . - A condição
é uma equação entre valores: calculemos a diferença .
- Calculando os números:
portanto
- A condição
equivale a
- Essa é uma equação linear não-homogênea nas coordenadas
. Note que o coeficiente não aparece — é livre — mas existe um deslocamento de no lado direito. - Teste do vetor zero: o polinômio zero tem
. Substituindo,
logo o polinômio zero NÃO satisfaz a condição, então o conjunto não contém o vetor zero.
- Além disso, teste de fechamento por escala: se
satisfaz , então tem coeficientes e satisfaz
que só iguala
quando
. Assim a multiplicação escalar não preserva a condição, exceto trivialmente com
.
- Conclusão para II: o conjunto NÃO é subespaço vetorial. Afirmativa II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III.
- Afirmativa: “O conjunto
é um subespaço vetorial.” - Um conjunto que contém exatamente um vetor
é subespaço somente se for o vetor zero. Porque um subespaço deve conter ; se o conjunto só tem um elemento, esse elemento tem de ser . - Aqui o único elemento é
, que não é o vetor zero. Logo o conjunto não contém e não é subespaço. - Outra verificação: fechamento por multiplicação escalar falha, por exemplo
. - Conclusão para III: falsa.
Passo 6
Reunião das conclusões:
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é falsa.
Portanto todas as três afirmativas são falsas.
Resposta
(C) Todas são falsas.