Considere um bloco de madeira de 4,0 \mathrm{~kg}, sujeito a ação da gravidade, descendo uma rampa com inclinação constante e inicialmente sem atrito. Notamos que a aceleração deste corpo é constante e igual a 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
(a) ( 5 pts) Faça uma figura representando as forças exercidas no bloco.
(b) (5 \mathrm{pts}) Qual a força resultante exercida no bloco (dê o valor numérico do módulo e sua direção)?
(c) ( 5 pts ) Qual a inclinação da rampa (considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )?
(d) ( 5 pts) Após uma certa posição a rampa tem uma rugosidade que passa a exercer uma força de atrito no bloco e é responsável por uma aceleração negativa de 1,0 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Qual a força resultante agindo no bloco a partir desse ponto?
(e) (5 \mathrm{pts}) Qual a força de atrito? E qual o coeficiente cinético de atrito responsável por essa força?

Passo 1

O enunciado dá um bloco de madeira com massa m=4,0\\ \mathrm{kg} que desce uma rampa inclinada. Inicialmente não há atrito e a aceleração medida do bloco é a_1=5,0\\ \mathrm{m/s^2}. Depois, a rampa passa a apresentar rugosidade que produz uma desaceleração (aceleração negativa) de a_2=-1,0\\ \mathrm{m/s^2}. Considere g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
As perguntas são:
(a) Fazer uma figura (diagrama de forças) representando as forças exercidas no bloco.
(b) Determinar a força resultante exercida no bloco (módulo e direção) no trecho sem atrito.
(c) Determinar a inclinação da rampa \theta.
(d) Determinar a força resultante agindo no bloco a partir do ponto com rugosidade (quando a aceleração passa a ser -1,0\\ \mathrm{m/s^2}).
(e) Determinar a força de atrito e o coeficiente cinético de atrito responsável por essa força.

Passo 2

Diagrama de forças (resposta da parte a). Vou descrever a figura que você deve desenhar — isso vale como “figura” porque mostra todas as forças com direção e sentido:
  • Desenhe a rampa inclinada com ângulo \theta em relação à horizontal. Coloque o bloco sobre a rampa.
  • Força peso: \vec{P}=m\vec{g} apontando vertical para baixo (vetor a partir do centro do bloco para baixo). No diagrama, decomponha o peso em duas componentes:
    • Componente paralelo à rampa (descendo a rampa): P_{\parallel}=mg\sin\theta.
    • Componente perpendicular à rampa (pressionando a rampa): P_{\perp}=mg\cos\theta.
  • Força normal: \vec{N} perpendicular à superfície da rampa, apontando para fora da rampa (sentido oposto a P_{\perp}).
  • Força de atrito cinético (apenas depois que a rampa fica rugosa): \vec{F}_{\text{at}}, sempre paralela à rampa e no sentido que se opõe ao movimento relativo (se o bloco desce, a força de atrito aponta para cima da rampa).
  • Antes da rugosidade, \vec{F}_{\text{at}}=0.
(Se quiser desenhar à mão: marque mg vertical para baixo, trace as componentes mg\sin\theta ao longo da rampa para baixo e mg\cos\theta perpendicular; desenhe N para fora da rampa; desenhe F_{at} para cima da rampa só no trecho rugoso.)

Passo 3

Conceitos e fórmulas fundamentais usados (aula rápida e aplicação para (b) e (c)).
  • Lei de Newton (segunda lei): a soma das forças na direção escolhida é igual a massa vezes aceleração nessa direção:
\sum F = m a.
Aqui é conveniente escolher o eixo paralelo à rampa (positivo para baixo da rampa).
  • Componente do peso paralelo à rampa: P_{\parallel}=mg\sin\theta. Explicação: mg é vertical; projetando esse vetor no eixo paralelo à rampa o fator geométrico é \sin\theta (triângulo retângulo formado pela decomposição), então mg\sin\theta é a intensidade da força que puxa o bloco para baixo ao longo da rampa.
  • Em ausência de atrito, a única força ao longo da rampa é P_{\parallel}. Logo:
mg\sin\theta = m a_1.
Você pode simplificar cancelando m (desde que m\neq 0).

Passo 4

Cálculo da força resultante no trecho sem atrito (resposta da parte b).
  • Usando \sum F_{\text{paralela}}=m a_1 e sabendo que a única força paralela é mg\sin\theta, a força resultante sobre o bloco é
F_{\text{res},1}=m a_1.
  • Numérico: com m=4,0\\ \mathrm{kg} e a_1=5,0\\ \mathrm{m/s^2},
F_{\text{res},1}=4,0\cdot 5,0 = 20\\ \mathrm{N}.
Direção: como escolhemos positivo para baixo da rampa e a_1>0, a força resultante aponta para baixo ao longo da rampa (ou seja, paralela à rampa no sentido de descida).

Passo 5

Cálculo da inclinação da rampa (resposta da parte c).
  • Da equação mg\sin\theta = m a_1 cancelamos m e obtemos
\sin\theta = \frac{a_1}{g}.
  • Substituindo a_1=5,0\\ \mathrm{m/s^2} e g=10\\ \mathrm{m/s^2},
\sin\theta = \frac{5,0}{10} = 0,5.
  • Portanto \theta = 30^\circ (porque \sin 30^\circ = 0,5).

Passo 6

Situação com atrito (iniciando a parte d): interpretação dos sinais e cálculo da força resultante.
  • Escolhemos novamente o eixo positivo para baixo da rampa. O enunciado diz que a aceleração passa a ser "negativa de 1,0\\ \mathrm{m/s^2}". Interpreto isso como a_2=-1,0\\ \mathrm{m/s^2} no mesmo eixo (ou seja, a aceleração está dirigida para cima da rampa, oposta ao sentido de descida).
  • Pela segunda lei, a soma das forças paralelas é
\sum F_{\parallel}=mg\sin\theta - F_{\text{at}} = m a_2,
onde F_{\text{at}} é a força de atrito apontando para cima da rampa (se o bloco está tentando descer). Mas antes de determinar F_{\text{at}}, a força resultante é simplesmente
F_{\text{res},2}=m a_2.
  • Numérico: com m=4,0\\ \mathrm{kg} e a_2=-1,0\\ \mathrm{m/s^2},
F_{\text{res},2}=4,0\cdot (-1,0) = -4,0\\ \mathrm{N}.
  • Interpretando o sinal: o resultado negativo significa que a força resultante tem sentido para cima da rampa. O módulo é 4,0\\ \mathrm{N} e a direção é para cima ao longo da rampa.

Passo 7

Cálculo da força de atrito (parte e, primeira pergunta).
  • Reescrevendo a equação da soma das forças paralelas:
mg\sin\theta - F_{\text{at}} = m a_2 \quad\Longrightarrow\quad F_{\text{at}} = mg\sin\theta - m a_2.
  • Já sabemos mg\sin\theta da Parte 5: com \theta=30^\circ,
mg\sin\theta = m g \cdot 0,5 = 4,0\cdot 10 \cdot 0,5 = 20\\ \mathrm{N}.
  • Substituindo a_2=-1,0\\ \mathrm{m/s^2},
F_{\text{at}} = 20 - 4,0\cdot(-1,0) = 20 + 4,0 = 24\\ \mathrm{N}.
  • Sinal e direção: esse valor 24\\ \mathrm{N} é positivo no sentido “módulo da força de atrito”; a direção é para cima da rampa (oposta à descida).

Passo 8

Cálculo do coeficiente cinético de atrito (parte e, segunda pergunta).
  • A força normal é dada por
N = mg\cos\theta.
  • Com \theta=30^\circ e \cos 30^\circ=\sqrt{3}/2\approx 0,866025,
N = 4,0\cdot 10 \cdot \cos 30^\circ = 40 \cdot 0,866025\approx 34,64\\ \mathrm{N}.
  • O coeficiente cinético de atrito \mu_k relaciona força de atrito ao normal:
\mu_k = \frac{F_{\text{at}}}{N}.
  • Substituindo F_{\text{at}}=24\\ \mathrm{N} e N\approx 34,64\\ \mathrm{N},
\mu_k \approx \frac{24}{34,64}\approx 0,693.
  • Arredondando sensatamente (dados com 2–3 algarismos significativos), \mu_k \approx 0,69.

Resposta

(a) Peso \vec{P}=m\vec{g} para baixo; componentes P_{\parallel}=mg\sin\theta (para baixo ao longo da rampa) e P_{\perp}=mg\cos\theta; Normal \vec{N} perpendicular à rampa para fora; Atrito \vec{F}_{\text{at}}=0 antes da rugosidade e depois apontando para cima da rampa.
(b) 20\\ \mathrm{N}, direção: para baixo ao longo da rampa (sentido da descida).
(c) \theta=30^\circ.
(d) Força resultante F_{\text{res},2}=-4,0\\ \mathrm{N} (no eixo positivo para baixo da rampa); módulo 4,0\\ \mathrm{N} e direção para cima ao longo da rampa.
(e) Força de atrito F_{\text{at}}=24\\ \mathrm{N} (para cima da rampa); coeficiente cinético \mu_k\approx 0,693 (aprox. 0,69).

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