Q1 - Um movimento harmônico simples é descrito pela função x=7 \cos (4 \pi t+\pi), em unidades do Sistema Internacional. Determine a amplitude e o período desse movimento.

Passo 1

O enunciado dá a função do movimento harmônico simples
x = 7\cos(4\pi t + \pi),
em unidades do SI, e pede duas coisas:
  • a amplitude do movimento;
  • o período do movimento.
As informações relevantes fornecidas são:
\text{expressão: } x(t)=7\cos(4\pi t+\pi).ã
Aqui vemos um coeficiente multiplicando o cosseno igual a 7 e o argumento do cosseno com termo em t igual a 4\pi t.

Passo 2

Vamos lembrar as definições e fórmulas importantes (não se assuste, é só decorar o que significa cada coisa):
  • A forma geral de um movimento harmônico simples é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (o valor máximo absoluto do deslocamento);
  • \omega é a frequência angular, em rad/s;
  • \varphi é a fase inicial, em radianos.
  • A amplitude é sempre um número não negativo e corresponde a |A|.
  • A relação entre frequência angular \omega, frequência linear f e período T é:
\omega = 2\pi f \quad\text{e}\quad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}.
Vou usar essas fórmulas para extrair A e T da expressão dada.

Passo 3

Comparando a expressão dada
x=7\cos(4\pi t+\pi)
com a forma padrão x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), identificamos diretamente:
A = 7,
\omega = 4\pi,
\varphi = \pi.
Observação: a fase \varphi=\pi desloca a função no tempo, mas não altera amplitude nem período. Então não precisamos usá-la para achar A e T.

Passo 4

Cálculo da amplitude: pela definição,
\text{amplitude } = |A| = |7| = 7.
Explicando em palavras: a amplitude é a máxima distância do ponto em movimento em relação à posição de equilíbrio; como o coeficiente do cosseno é 7, o máximo deslocamento é 7 metros.

Passo 5

Cálculo do período: usamos a fórmula
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=4\pi temos
T=\frac{2\pi}{4\pi}.
Agora simplificamos:
T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto T=\tfrac{1}{2} segundos, ou seja 0{,}5\\ \text{s}.
Como checagem rápida podemos obter a frequência f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4\pi}{2\pi}=2\\ \text{Hz},
e T=1/f=1/2\\ \text{s}, concisa com o cálculo anterior.

Passo 6

Resumo e interpretação final: a amplitude é 7 metros (o objeto oscila entre -7 e +7 m) e o período é 0{,}5 s (cada oscilação completa leva meio segundo).

Resposta

Amplitude: \,7\\ \text{m}
Período: \,0{,}5\\ \text{s}

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